Номер 272, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Рациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 272, страница 66.

272. Упростите выражение:

а) $ \frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a+b} - \frac{2ab}{a^2-b^2}; $

б) $ (-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{x^2-1}. $

а) Чтобы упростить выражение $\frac{a}{a-b} + \frac{3a}{a+b} - \frac{2ab}{a^2-b^2}$, приведем все дроби к общему знаменателю.
Знаменатель третьей дроби $a^2-b^2$ можно разложить по формуле разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей — это $(a-b)(a+b)$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на $(a+b)$:
$\frac{a}{a-b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab}{a^2-b^2}$.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на $(a-b)$:
$\frac{3a}{a+b} = \frac{3a(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{3a^2-3ab}{a^2-b^2}$.
Теперь выполним сложение и вычитание дробей:
$\frac{a^2+ab}{a^2-b^2} + \frac{3a^2-3ab}{a^2-b^2} - \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{(a^2+ab) + (3a^2-3ab) - 2ab}{a^2-b^2}$.
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$a^2+ab+3a^2-3ab-2ab = (a^2+3a^2) + (ab-3ab-2ab) = 4a^2 - 4ab$.
Получаем дробь: $\frac{4a^2-4ab}{a^2-b^2}$.
Вынесем в числителе общий множитель $4a$ за скобки:
$\frac{4a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{4a\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{4a}{a+b}$.
Ответ: $\frac{4a}{a+b}$.

б) Рассмотрим выражение $(1 - \frac{1}{x}) \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{x^2-1}$.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $x$:
$1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{x-1}{x} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{x}{x^2-1}$.
Разложим на множители знаменатель третьей дроби по формуле разности квадратов: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Также преобразуем числитель второй дроби: $1-x = -(x-1)$.
Подставим разложенные выражения обратно в произведение:
$\frac{x-1}{x} \cdot \frac{-(x-1)}{x+1} \cdot \frac{x}{(x-1)(x+1)}$.
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{(x-1) \cdot (-(x-1)) \cdot x}{x \cdot (x+1) \cdot (x-1)(x+1)}$.
Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $x$ и один из множителей $(x-1)$:
$\frac{\cancel{(x-1)} \cdot (-(x-1)) \cdot \cancel{x}}{\cancel{x} \cdot (x+1) \cdot \cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{-(x-1)}{(x+1)(x+1)}$.
Упростим полученное выражение:
$\frac{-(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{-x+1}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{(x+1)^2}$.
Ответ: $\frac{1-x}{(x+1)^2}$.