Номер 269, страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Рациональные числа. § 4. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 269, страница 66.

269. Приведите пример, опровергающий утверждение:

а) не существует рационального числа, которое больше $\frac{1}{8}$, но меньше $\frac{1}{7}$;

б) не существует рационального числа, которое больше $\frac{1}{6}$, но меньше $\frac{1}{5}$.

а) Данное утверждение гласит, что не существует рационального числа $x$, удовлетворяющего неравенству $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один пример такого числа.

Для поиска такого числа приведем дроби $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{7}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 8 и 7 равен их произведению, то есть $8 \times 7 = 56$.

Выполним преобразование дробей:

$\frac{1}{8} = \frac{1 \times 7}{8 \times 7} = \frac{7}{56}$

$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{8}{56}$

Теперь задача состоит в том, чтобы найти число между $\frac{7}{56}$ и $\frac{8}{56}$. Поскольку между целыми числами 7 и 8 нет других целых чисел, мы можем увеличить знаменатель, чтобы найти промежуточное значение. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2 (или любое другое целое число больше 1):

$\frac{7}{56} = \frac{7 \times 2}{56 \times 2} = \frac{14}{112}$

$\frac{8}{56} = \frac{8 \times 2}{56 \times 2} = \frac{16}{112}$

Теперь мы ищем число $x$, такое что $\frac{14}{112} < x < \frac{16}{112}$. Очевидно, что дробь $\frac{15}{112}$ удовлетворяет этому условию.

Таким образом, мы нашли рациональное число $\frac{15}{112}$, которое больше $\frac{1}{8}$ и меньше $\frac{1}{7}$. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: например, число $\frac{15}{112}$.

б) Данное утверждение гласит, что не существует рационального числа $x$, удовлетворяющего неравенству $\frac{1}{6} < x < \frac{1}{5}$. Опровергнем его, найдя пример такого числа.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Приведем дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{5}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 5 равен $6 \times 5 = 30$.

Преобразуем дроби:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{5}{30}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 6}{5 \times 6} = \frac{6}{30}$

Нам нужно найти число между $\frac{5}{30}$ и $\frac{6}{30}$. Снова увеличим знаменатель, умножив числители и знаменатели дробей на 2:

$\frac{5}{30} = \frac{5 \times 2}{30 \times 2} = \frac{10}{60}$

$\frac{6}{30} = \frac{6 \times 2}{30 \times 2} = \frac{12}{60}$

Теперь ищем число $x$, такое что $\frac{10}{60} < x < \frac{12}{60}$. Этому условию удовлетворяет, например, дробь $\frac{11}{60}$.

Мы нашли рациональное число $\frac{11}{60}$, которое больше $\frac{1}{6}$ и меньше $\frac{1}{5}$, что и опровергает данное утверждение.

Ответ: например, число $\frac{11}{60}$.