Номер 262, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 262, страница 60.

262. Могут ли графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ пересекаться в двух точках, лежащих:

a) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях?

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{k}{x} \\ y = ax + b \end{cases} $

Приравнивая правые части, получаем уравнение относительно $x$: $\frac{k}{x} = ax + b$.

Поскольку $x \neq 0$ (из области определения функции $y = \frac{k}{x}$), мы можем умножить обе части уравнения на $x$: $k = ax^2 + bx$, что эквивалентно квадратному уравнению: $ax^2 + bx - k = 0$.

Графики пересекаются в двух точках, если это квадратное уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). Это происходит, когда дискриминант $D = b^2 - 4a(-k) = b^2 + 4ak$ строго больше нуля ($D > 0$).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) в одной четверти;

Да, могут. Две точки пересечения могут лежать в одной координатной четверти. Это происходит, когда прямая пересекает одну и ту же ветвь гиперболы дважды.

Рассмотрим случай, когда обе точки лежат в первой четверти. Для этого необходимо, чтобы обе координаты $x$ и $y$ для обеих точек были положительны. Если точка пересечения $(x, y)$ лежит в первой четверти ($x > 0, y > 0$), то из уравнения гиперболы $y = \frac{k}{x}$ следует, что $k = xy > 0$. Значит, ветви гиперболы должны находиться в первой и третьей четвертях.

Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ (при $k > 0$) имело два различных положительных корня ($x_1 > 0$ и $x_2 > 0$). Согласно теореме Виета, для этого должны выполняться следующие условия: дискриминант $D = b^2 + 4ak > 0$, произведение корней $x_1 x_2 = \frac{-k}{a} > 0$ и сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} > 0$.

Из условия $x_1 x_2 > 0$ и того, что $k > 0$, следует, что $a < 0$. Из условия $x_1 + x_2 > 0$ и того, что $a < 0$, следует, что $-b < 0$, то есть $b > 0$. Условие на дискриминант $D > 0$ при $a < 0$ и $k > 0$ принимает вид $b^2 > -4ak$.

Такие значения $a, b, k$ существуют. Например, выберем $k=1, a=-1, b=3$. Тогда рассматриваются гипербола $y = \frac{1}{x}$ и прямая $y = -x + 3$. Уравнение для нахождения точек пересечения: $x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Оба корня положительны. Поскольку $k=1 > 0$, соответствующие значения $y_1 = 1/x_1$ и $y_2 = 1/x_2$ также положительны. Следовательно, обе точки пересечения лежат в первой четверти.

Ответ: Да, могут.

б) в первой и второй четвертях;

Нет, не могут.

График функции $y = \frac{k}{x}$ (гипербола) имеет две ветви. Если коэффициент $k > 0$, ветви гиперболы расположены в первой ($x > 0, y > 0$) и третьей ($x < 0, y < 0$) координатных четвертях. Если коэффициент $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй ($x < 0, y > 0$) и четвертой ($x > 0, y < 0$) координатных четвертях.

Чтобы одна точка пересечения лежала в первой четверти ($x_1 > 0, y_1 > 0$), необходимо, чтобы $k = x_1 y_1 > 0$. Чтобы другая точка пересечения лежала во второй четверти ($x_2 < 0, y_2 > 0$), необходимо, чтобы $k = x_2 y_2 < 0$.

Поскольку для одной и той же функции $y = \frac{k}{x}$ коэффициент $k$ является постоянной величиной, он не может быть одновременно положительным и отрицательным. Таким образом, одна и та же гипербола не может проходить одновременно через первую и вторую четверти. Следовательно, прямая не может пересечь ее в этих двух четвертях.

Ответ: Нет, не могут.

в) в первой и третьей четвертях?

Да, могут. Это происходит, когда прямая пересекает обе ветви гиперболы.

Чтобы одна точка пересечения лежала в первой четверти ($x_1 > 0, y_1 > 0$), из $y_1 = k/x_1$ следует, что $k > 0$. Чтобы вторая точка пересечения лежала в третьей четверти ($x_2 < 0, y_2 < 0$), из $y_2 = k/x_2$ следует, что $k > 0$. Оба условия согласуются: коэффициент $k$ должен быть положительным. В этом случае ветви гиперболы как раз расположены в первой и третьей четвертях.

Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ (при $k > 0$) имело два корня разных знаков: один положительный ($x_1 > 0$) и один отрицательный ($x_2 < 0$). Условием этого является отрицательное произведение корней: $x_1 x_2 < 0$. По теореме Виета, $x_1 x_2 = \frac{-k}{a}$. Так как $k > 0$, неравенство $\frac{-k}{a} < 0$ выполняется при $a > 0$. При $a > 0$ и $k > 0$ дискриминант $D = b^2 + 4ak$ всегда положителен, что гарантирует наличие двух различных корней.

Такие значения $a, b, k$ существуют. Например, рассмотрим самый простой случай: $k=1, a=1, b=0$. Тогда рассматриваются гипербола $y = \frac{1}{x}$ и прямая $y = x$. Решаем уравнение $\frac{1}{x} = x$, откуда $x^2 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Для $x_1 = 1$ получаем $y_1 = 1$, и точка $(1, 1)$ лежит в первой четверти. Для $x_2 = -1$ получаем $y_2 = -1$, и точка $(-1, -1)$ лежит в третьей четверти.

Следовательно, графики могут пересекаться в первой и третьей четвертях.

Ответ: Да, могут.