Номер 260, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 260, страница 60.

260. При каких значениях $k$ и $b$ гипербола $y = \frac{k}{x}$ и прямая

$y = kx + b$ проходят через точку:

а) P(2; 1);

б) Q(-2; 3);

в) R(-1; 1)?

Для того чтобы графики гиперболы $y = \frac{k}{x}$ и прямой $y = kx + b$ проходили через заданную точку, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Это означает, что если точка имеет координаты $(x_0, y_0)$, то должны выполняться два равенства:

$y_0 = \frac{k}{x_0}$

$y_0 = kx_0 + b$

Таким образом, для каждой точки мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $k$ и $b$. Решим эту систему для каждого из предложенных случаев.

а) P(2; 1)

Подставляем координаты точки $x=2$ и $y=1$ в уравнения.
Из уравнения гиперболы находим коэффициент $k$:
$1 = \frac{k}{2}$
$k = 1 \cdot 2 = 2$

Теперь, зная значение $k=2$, подставляем его и координаты точки в уравнение прямой, чтобы найти коэффициент $b$:
$1 = 2 \cdot 2 + b$
$1 = 4 + b$
$b = 1 - 4 = -3$

Таким образом, при $k=2$ и $b=-3$ оба графика проходят через точку P(2; 1).

Ответ: $k=2, b=-3$.

б) Q(-2; 3)

Подставляем координаты точки $x=-2$ и $y=3$ в уравнения.
Находим $k$ из уравнения гиперболы:
$3 = \frac{k}{-2}$
$k = 3 \cdot (-2) = -6$

Теперь находим $b$ из уравнения прямой, используя найденное значение $k=-6$ и координаты точки:
$3 = (-6) \cdot (-2) + b$
$3 = 12 + b$
$b = 3 - 12 = -9$

Таким образом, при $k=-6$ и $b=-9$ оба графика проходят через точку Q(-2; 3).

Ответ: $k=-6, b=-9$.

в) R(-1; 1)

Подставляем координаты точки $x=-1$ и $y=1$ в уравнения.
Находим $k$ из уравнения гиперболы:
$1 = \frac{k}{-1}$
$k = 1 \cdot (-1) = -1$

Находим $b$ из уравнения прямой, используя $k=-1$ и координаты точки:
$1 = (-1) \cdot (-1) + b$
$1 = 1 + b$
$b = 1 - 1 = 0$

Таким образом, при $k=-1$ и $b=0$ оба графика проходят через точку R(-1; 1).

Ответ: $k=-1, b=0$.