Номер 257, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 257, страница 59.

257. Постройте график функции:

а) $y = \frac{4}{|x|}$;

б) $y = \frac{2,4}{|x|}$;

в) $y = \frac{1}{|x|}$;

г) $y = \frac{-1}{|x|}$;

д) $y = -\frac{6}{|x|}$;

е) $y = \frac{-3,6}{|x|}$.

а) Для построения графика функции $y = \frac{4}{|x|}$ используется общее правило для функций вида $y=f(|x|)$. Сначала строится график функции $y=f(x)$ для $x>0$, а затем эта часть графика симметрично отражается относительно оси ординат (оси OY).

В данном случае базовая функция $f(x) = \frac{4}{x}$.

1. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$ при $x > 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти, так как при $x>0$ значение $y$ также будет положительным. Для построения найдем несколько точек:
- при $x=1, y=4$; точка (1, 4)
- при $x=2, y=2$; точка (2, 2)
- при $x=4, y=1$; точка (4, 1)

2. Отразим эту ветвь симметрично относительно оси OY. Получим вторую ветвь, расположенную во второй координатной четверти. Она пройдет через симметричные точки: (-1, 4), (-2, 2), (-4, 1).

Итоговый график состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости ($y>0$), симметричных относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами графика.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{|x|}$ представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в I и II координатных четвертях, симметричные относительно оси OY. Асимптотами являются оси координат.

б) Построим график функции $y = \frac{2,4}{|x|}$.

Построение аналогично предыдущему пункту. Базовая функция $f(x) = \frac{2,4}{x}$.

1. Строим график $y = \frac{2,4}{x}$ для $x > 0$. Это ветвь гиперболы в I координатной четверти. Найдем несколько точек:
- при $x=1, y=2,4$; точка (1; 2,4)
- при $x=2, y=1,2$; точка (2; 1,2)
- при $x=2,4, y=1$; точка (2,4; 1)

2. Отражаем полученную ветвь симметрично относительно оси OY. Получаем вторую ветвь во II координатной четверти, проходящую через точки (-1; 2,4), (-2; 1,2), (-2,4; 1).

График состоит из двух симметричных относительно оси OY ветвей в I и II четвертях. Асимптоты — оси координат.

Ответ: График функции $y = \frac{2,4}{|x|}$ — это две ветви гиперболы в I и II координатных четвертях, симметричные относительно оси OY, с асимптотами в виде осей координат.

в) Построим график функции $y = \frac{1}{|x|}$.

Используем тот же подход. Базовая функция $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. Строим график $y = \frac{1}{x}$ для $x > 0$. Это ветвь гиперболы в I координатной четверти. Контрольные точки:
- при $x=1, y=1$; точка (1, 1)
- при $x=2, y=0,5$; точка (2; 0,5)
- при $x=0,5, y=2$; точка (0,5; 2)

2. Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси OY. Получаем вторую ветвь во II координатной четверти с точками (-1, 1), (-2; 0,5), (-0,5; 2).

График симметричен относительно оси OY, расположен в верхней полуплоскости. Асимптоты — оси координат.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях, симметричных относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами.

г) Построим график функции $y = \frac{-1}{|x|}$.

В этом случае коэффициент в числителе отрицательный. Базовая функция $f(x) = \frac{-1}{x}$.

1. Строим график функции $y = \frac{-1}{x}$ для $x > 0$. Так как $x>0$, то $y<0$. Следовательно, эта ветвь гиперболы находится в IV координатной четверти. Контрольные точки:
- при $x=1, y=-1$; точка (1, -1)
- при $x=2, y=-0,5$; точка (2; -0,5)
- при $x=0,5, y=-2$; точка (0,5; -2)

2. Отражаем построенную ветвь симметрично относительно оси OY. Получаем вторую ветвь, расположенную в III координатной четверти. Она проходит через точки (-1, -1), (-2; -0,5), (-0,5; -2).

Итоговый график состоит из двух ветвей, расположенных в нижней полуплоскости ($y<0$), симметричных относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами.

Ответ: График функции $y = \frac{-1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях, симметричных относительно оси OY. Асимптотами являются оси координат.

д) Построим график функции $y = -\frac{6}{|x|}$, что то же самое, что и $y = \frac{-6}{|x|}$.

Построение аналогично пункту г). Базовая функция $f(x) = \frac{-6}{x}$.

1. Строим график $y = \frac{-6}{x}$ для $x > 0$. Ветвь гиперболы находится в IV координатной четверти. Контрольные точки:
- при $x=1, y=-6$; точка (1, -6)
- при $x=2, y=-3$; точка (2, -3)
- при $x=3, y=-2$; точка (3, -2)
- при $x=6, y=-1$; точка (6, -1)

2. Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси OY. Получаем вторую ветвь в III координатной четверти с точками (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1).

График состоит из двух симметричных ветвей в нижней полуплоскости. Асимптоты — оси координат.

Ответ: График функции $y = -\frac{6}{|x|}$ — это две ветви гиперболы в III и IV координатных четвертях, симметричные относительно оси OY, с асимптотами в виде осей координат.

е) Построим график функции $y = \frac{-3,6}{|x|}$.

Действуем аналогично пунктам г) и д). Базовая функция $f(x) = \frac{-3,6}{x}$.

1. Строим график $y = \frac{-3,6}{x}$ для $x > 0$. Ветвь гиперболы расположена в IV координатной четверти. Контрольные точки:
- при $x=1, y=-3,6$; точка (1; -3,6)
- при $x=2, y=-1,8$; точка (2; -1,8)
- при $x=3,6, y=-1$; точка (3,6; -1)

2. Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси OY и получаем вторую ветвь в III координатной четверти с точками (-1; -3,6), (-2; -1,8), (-3,6; -1).

График состоит из двух симметричных ветвей в III и IV четвертях. Асимптоты — оси координат.

Ответ: График функции $y = \frac{-3,6}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях, симметричных относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами.