Номер 250, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 250, страница 58.

250. Три вязальщицы получили одинаковые заказы на изготовление салфеток. Первая из них может выполнить заказ за 8 ч, вторая — за 9 ч, а их ученица — за 12 ч. Они объединили заказы и стали выполнять их совместно. Через сколько часов работа была закончена?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность (скорость работы) каждой вязальщицы, а затем их общую производительность при совместной работе. Объем одного заказа примем за 1 условную единицу.

1. Производительность первой вязальщицы, которая выполняет заказ за 8 часов, составляет $P_1 = \frac{1}{8}$ заказа в час.

2. Производительность второй вязальщицы, которая выполняет заказ за 9 часов, составляет $P_2 = \frac{1}{9}$ заказа в час.

3. Производительность ученицы, которая выполняет заказ за 12 часов, составляет $P_3 = \frac{1}{12}$ заказа в час.

Чтобы найти общую производительность при совместной работе, необходимо сложить их индивидуальные производительности: $P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 8, 9 и 12 равно 72. $P_{общая} = \frac{1 \cdot 9}{72} + \frac{1 \cdot 8}{72} + \frac{1 \cdot 6}{72} = \frac{9+8+6}{72} = \frac{23}{72}$ Таким образом, работая вместе, они выполняют $\frac{23}{72}$ одного заказа за час.

По условию, вязальщицы объединили три своих одинаковых заказа. Следовательно, общий объем работы $A$, который им нужно выполнить, равен 3 заказам. $A = 3$

Время $t$, необходимое для выполнения всей работы, вычисляется как отношение общего объема работы к общей производительности: $t = \frac{A}{P_{общая}} = \frac{3}{\frac{23}{72}}$

Выполним деление: $t = 3 \cdot \frac{72}{23} = \frac{216}{23}$

Представим результат в виде смешанного числа, чтобы выделить целое количество часов: $\frac{216}{23} = 9 \frac{9}{23}$

Ответ: работа была закончена через $9 \frac{9}{23}$ часов.