Номер 246, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 246, страница 58.

246. Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:

$a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)^3$

Докажите его.

Для доказательства данного тождества преобразуем его, перенеся одно из слагаемых из левой части в правую. Это позволит нам работать с разностью кубов.

Исходное тождество: $$ a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 $$

Перенесем второй член левой части вправо: $$ a^3 + b^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 - \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 $$

Теперь докажем, что правая часть (ПЧ) этого равенства тождественно равна левой части.

$$ ПЧ = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} - \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3 - b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} $$

Рассмотрим числитель полученной дроби. Для его упрощения раскроем кубы биномов, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$:

$ (a^3 + 2b^3)^3 = (a^3)^3 + 3(a^3)^2(2b^3) + 3(a^3)(2b^3)^2 + (2b^3)^3 = a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9 $

$ (2a^3 + b^3)^3 = (2a^3)^3 + 3(2a^3)^2(b^3) + 3(2a^3)(b^3)^2 + (b^3)^3 = 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9 $

Подставим эти выражения в числитель и раскроем скобки:

Числитель = $a^3(a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9) - b^3(8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)$
= $(a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9) - (8a^9b^3 + 12a^6b^6 + 6a^3b^9 + b^{12})$

Приведем подобные слагаемые:

Числитель = $a^{12} + (6 - 8)a^9b^3 + (12 - 12)a^6b^6 + (8 - 6)a^3b^9 - b^{12}$
= $a^{12} - 2a^9b^3 + 2a^3b^9 - b^{12}$

Теперь разложим полученное выражение на множители. Для этого сгруппируем слагаемые:

$ (a^{12} - b^{12}) - (2a^9b^3 - 2a^3b^9) $

Из первой группы вынесем множитель по формуле разности квадратов, а из второй — общий множитель:

$ (a^6 - b^6)(a^6 + b^6) - 2a^3b^3(a^6 - b^6) $

Вынесем общий множитель $(a^6 - b^6)$:

$ (a^6 - b^6)(a^6 + b^6 - 2a^3b^3) $

Применим формулу разности кубов к первому множителю и заметим формулу квадрата разности во втором множителе:

$ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) \cdot (a^3 - b^3)^2 $

Объединив множители, получаем окончательный вид числителя:

Числитель = $(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в формулу для ПЧ:

$$ ПЧ = \frac{(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} $$

При условии, что $a^3 - b^3 \neq 0$ (то есть $a \neq b$), на которое указывает наличие знаменателя в исходном тождестве, мы можем сократить дробь на $(a^3 - b^3)^3$:

$$ ПЧ = a^3 + b^3 $$

Таким образом, мы показали, что правая часть преобразованного равенства равна $a^3 + b^3$, что в точности совпадает с его левой частью. Следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.