Номер 249, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 249, страница 58.

249. При каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $ \frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}} $;

б) $ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}} $?

а) Выражение представляет собой дробь. Оно имеет смысл тогда, когда все знаменатели, входящие в его состав, не равны нулю.
Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}} $.
Найдём значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.
1. Знаменатели дробей в числителе: $x-2$ и $x+2$. Они не должны быть равны нулю.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
2. Знаменатель всей дроби $\frac{3x}{x^2-4}$ не должен быть равен нулю.
$\frac{3x}{x^2-4} \neq 0$.
Это условие распадается на два: числитель этой дроби не равен нулю, и её знаменатель также не равен нулю.
а) $3x \neq 0 \implies x \neq 0$.
б) $x^2-4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0$. Это приводит к уже полученным условиям $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Объединив все найденные ограничения, получаем, что выражение имеет смысл при всех значениях $x$, за исключением $x=-2$, $x=0$ и $x=2$.
Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = -2, x = 0, x = 2$.

б) Данное выражение является многоуровневой дробью. Оно будет иметь смысл только в том случае, если все знаменатели на каждом из уровней не равны нулю.
Исходное выражение: $ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}} $.
Проанализируем все знаменатели, начиная с самого внутреннего.
1. В дроби $\frac{1}{x}$ знаменатель равен $x$. Следовательно, должно выполняться условие:
$x \neq 0$.
2. В дроби $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ знаменателем является выражение $1 - \frac{1}{x}$. Оно не должно быть равно нулю:
$1 - \frac{1}{x} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{1}{x} \implies x \neq 1$.
3. Внешний (основной) знаменатель $1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ также не должен равняться нулю:
$1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$.
При условии, что $1 - \frac{1}{x} \neq 0$ (что эквивалентно $x \neq 1$), мы можем преобразовать это неравенство:
$1 - \frac{1}{x} \neq 1 \implies -\frac{1}{x} \neq 0$.
Это неравенство истинно для любого ненулевого значения $x$, что уже учтено в первом пункте. Таким образом, третье условие не добавляет новых ограничений.
Итак, выражение имеет смысл при выполнении двух условий: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 0$ и $x = 1$.