Номер 244, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 244, страница 57.

244. Упростите выражение:

a) $\left( x - \frac{4xy}{x+y} + y \right) \cdot \left( x + \frac{4xy}{x-y} - y \right);$

б) $\left( a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 \right) : \left( 1 - \frac{1}{1-a} \right).$

а)

Сначала упростим выражение в первой скобке. Для этого сгруппируем слагаемые $x$ и $y$ и приведем к общему знаменателю $(x+y)$:

$\left(x - \frac{4xy}{x+y} + y\right) = \left((x+y) - \frac{4xy}{x+y}\right) = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{x^2 + 2xy + y^2 - 4xy}{x+y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x+y}$

Числитель является полным квадратом разности $(x-y)^2$:

$\frac{(x-y)^2}{x+y}$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Сгруппируем слагаемые $x$ и $-y$ и приведем к общему знаменателю $(x-y)$:

$\left(x + \frac{4xy}{x-y} - y\right) = \left((x-y) + \frac{4xy}{x-y}\right) = \frac{(x-y)^2 + 4xy}{x-y}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{x^2 - 2xy + y^2 + 4xy}{x-y} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x-y}$

Числитель является полным квадратом суммы $(x+y)^2$:

$\frac{(x+y)^2}{x-y}$

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{(x-y)^2}{x+y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x-y}$

Сократим общие множители $(x-y)$ и $(x+y)$:

$(x-y) \cdot (x+y) = x^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2$

б)

Упростим выражение, выполняя действия по порядку.

1. Упростим выражение в первой скобке. Сгруппируем $a$ и $1$ и приведем к общему знаменателю $(1-a)$:

$a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1 = (a+1) - \frac{1-2a^2}{1-a} = \frac{(a+1)(1-a) - (1-2a^2)}{1-a}$

В числителе применим формулу разности квадратов $(a+1)(1-a) = 1-a^2$ и упростим выражение:

$\frac{1-a^2 - 1 + 2a^2}{1-a} = \frac{a^2}{1-a}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $(1-a)$:

$1 - \frac{1}{1-a} = \frac{1 \cdot (1-a) - 1}{1-a} = \frac{1-a-1}{1-a} = \frac{-a}{1-a}$

3. Выполним деление результатов, полученных в действиях 1 и 2. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2}{1-a} : \left(\frac{-a}{1-a}\right) = \frac{a^2}{1-a} \cdot \frac{1-a}{-a}$

Сократим дробь на общий множитель $(1-a)$ и на $a$:

$\frac{a^2}{-a} = -a$

Ответ: $-a$