Номер 241, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 241, страница 57.

241. Докажите, что при любом целом a и дробном x значение выражения

$(a - \frac{a^2 + x^2}{a+x}) \cdot (\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a-x})$

является чётным числом.

Для того чтобы доказать, что значение выражения является чётным числом при любом целом a и дробном x, необходимо упростить данное выражение.

Исходное выражение:

$$ \left(a - \frac{a^2 + x^2}{a+x}\right) \cdot \left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a-x}\right) $$

Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.

Упрощение первого множителя

Приведем выражение в первой скобке к общему знаменателю $(a+x)$:

$$ a - \frac{a^2 + x^2}{a+x} = \frac{a(a+x) - (a^2 + x^2)}{a+x} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a+x} = \frac{ax - x^2}{a+x} $$

Вынесем общий множитель x за скобки в числителе:

$$ \frac{x(a - x)}{a+x} $$

Упрощение второго множителя

Приведем дроби во второй скобке к общему знаменателю $x(a-x)$:

$$ \frac{2a}{x} + \frac{4a}{a-x} = \frac{2a(a-x) + 4ax}{x(a-x)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{2a^2 - 2ax + 4ax}{x(a-x)} = \frac{2a^2 + 2ax}{x(a-x)} $$

Вынесем общий множитель 2a за скобки в числителе:

$$ \frac{2a(a+x)}{x(a-x)} $$

Перемножение и итоговое упрощение

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$$ \frac{x(a - x)}{a+x} \cdot \frac{2a(a+x)}{x(a-x)} $$

По условию a — целое число, а x — дробное. Это означает, что $x \ne 0$. Также $x \ne a$ и $x \ne -a$, так как целое число не может быть равно дробному. Следовательно, знаменатели выражений не равны нулю, и мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{x}\cancel{(a - x)}}{\cancel{a+x}} \cdot \frac{2a\cancel{(a+x)}}{\cancel{x}\cancel{(a-x)}} = 2a $$

В результате упрощения мы получили выражение $2a$. По условию задачи, a является целым числом. Любое целое число при умножении на 2 дает в результате чётное число. Таким образом, значение исходного выражения при заданных условиях всегда является чётным числом.

Ответ: значение выражения равно $2a$. Так как a — целое число, то $2a$ по определению является чётным числом, что и требовалось доказать.