Номер 245, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 245, страница 58.

245. Докажите тождество

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2-p^2} - \frac{2}{p+2q} = -\frac{1}{2p} \cdot \left(\frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2} + 1\right) $

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части:

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 - p^2} - \frac{2}{p+2q} $

Заметим, что знаменатель второй дроби $4q^2 - p^2$ можно разложить по формуле разности квадратов и преобразовать: $4q^2 - p^2 = (2q-p)(2q+p) = -(p-2q)(p+2q)$. Подставим это в выражение:

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{-(p-2q)(p+2q)} - \frac{2}{p+2q} = \frac{1}{p-2q} - \frac{6q}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{2}{p+2q} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $(p-2q)(p+2q) = p^2 - 4q^2$:

$ \frac{1 \cdot (p+2q)}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{6q}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{2 \cdot (p-2q)}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{(p+2q) - 6q - 2(p-2q)}{p^2 - 4q^2} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{p+2q - 6q - 2p + 4q}{p^2 - 4q^2} = \frac{(p-2p) + (2q-6q+4q)}{p^2 - 4q^2} = \frac{-p}{p^2 - 4q^2} $

Преобразование правой части:

$ -\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1 \right) $

Сначала выполним сложение в скобках, представив 1 как дробь со знаменателем $p^2 - 4q^2$:

$ \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1 = \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + \frac{p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \frac{p^2 + 4q^2 + p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} $

Теперь подставим полученное выражение обратно в правую часть исходного тождества:

$ -\frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} = -\frac{2p^2}{2p(p^2 - 4q^2)} $

Сократим дробь на $2p$ (при условии, что $p \neq 0$):

$ -\frac{p}{p^2 - 4q^2} $

Заключение:

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению:

$ \frac{-p}{p^2 - 4q^2} = -\frac{p}{p^2 - 4q^2} $

Следовательно, исходное равенство является тождеством при всех допустимых значениях переменных ($p \neq 0, p \neq \pm 2q$).

Ответ: тождество доказано.