Номер 240, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 240, страница 57.

240. Докажите, что если $m \ne n$, $m \ne 0$ и $n \ne 0$, то значение выражения $\frac{2}{mn} : \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right)^2 - \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}$ не зависит от значений переменных.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от значений переменных $m$ и $n$, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощений получится константа (число), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$$ \frac{2}{mn} : \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{n} \right)^2 - \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} $$

Упростим выражение по действиям. Заданные условия $m \neq n$, $m \neq 0$ и $n \neq 0$ обеспечивают, что знаменатели в выражении не обращаются в нуль.

1. Первым действием выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $mn$:

$$ \frac{1}{m} - \frac{1}{n} = \frac{n}{mn} - \frac{m}{mn} = \frac{n-m}{mn} $$

2. Далее возведем полученный результат в квадрат:

$$ \left( \frac{n-m}{mn} \right)^2 = \frac{(n-m)^2}{(mn)^2} = \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} $$

Мы воспользовались тем, что $(n-m)^2 = (-(m-n))^2 = (m-n)^2$.

3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$$ \frac{2}{mn} : \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} = \frac{2}{mn} \cdot \frac{m^2n^2}{(m-n)^2} $$

Сократим полученную дробь на общий множитель $mn$:

$$ \frac{2 \cdot m^2n^2}{mn \cdot (m-n)^2} = \frac{2mn}{(m-n)^2} $$

4. Наконец, выполним последнее действие — вычитание. Подставим результат предыдущего действия в исходное выражение:

$$ \frac{2mn}{(m-n)^2} - \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} $$

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть их числители:

$$ \frac{2mn - (m^2 + n^2)}{(m-n)^2} = \frac{2mn - m^2 - n^2}{(m-n)^2} $$

5. Упростим числитель. Для этого вынесем знак минус за скобки:

$$ 2mn - m^2 - n^2 = -(m^2 - 2mn + n^2) $$

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$. Следовательно, числитель равен $-(m-n)^2$.

6. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$$ \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} $$

Поскольку $m \neq n$, то $(m-n)^2 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(m-n)^2$:

$$ \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} = -1 $$

В результате всех преобразований мы получили число -1. Это значение является константой и не зависит от значений переменных $m$ и $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно -1 и не зависит от значений переменных.