Номер 234, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 234, страница 56.

234. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:

а) $\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3}$;

б) $\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5}$;

в) $\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6}$;

г) $\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}$.

а)

Чтобы представить дробь $\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3}$ в виде суммы целого выражения и дроби, выделим в числителе слагаемое, которое делится на знаменатель $(x-3)$ без остатка. Для этого сгруппируем первые два члена и вынесем $x$ за скобки:

$\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3} = \frac{(x^2 - 3x) + 6}{x - 3} = \frac{x(x - 3) + 6}{x - 3}$

Теперь разделим полученное выражение почленно на знаменатель:

$\frac{x(x - 3)}{x - 3} + \frac{6}{x - 3} = x + \frac{6}{x - 3}$

Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы целого выражения $x$ и дроби $\frac{6}{x - 3}$.

Ответ: $x + \frac{6}{x - 3}$

б)

Представим дробь $\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5}$. Сгруппируем первые два члена в числителе и вынесем $y$ за скобки, чтобы выделить множитель $(y+5)$:

$\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5} = \frac{(y^2 + 5y) - 8}{y + 5} = \frac{y(y + 5) - 8}{y + 5}$

Разделим почленно на знаменатель $(y+5)$:

$\frac{y(y + 5)}{y + 5} - \frac{8}{y + 5} = y - \frac{8}{y + 5}$

Исходная дробь представлена в виде разности целого выражения $y$ и дроби $\frac{8}{y + 5}$.

Ответ: $y - \frac{8}{y + 5}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6}$. Чтобы выделить в числителе множитель $(a+6)$, представим $7a$ как $6a+a$:

$\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6} = \frac{a^2 + 6a + a + 2}{a + 6} = \frac{(a^2 + 6a) + (a + 2)}{a + 6} = \frac{a(a + 6) + (a + 2)}{a + 6}$

Разделим почленно на знаменатель:

$\frac{a(a + 6)}{a + 6} + \frac{a + 2}{a + 6} = a + \frac{a + 2}{a + 6}$

Теперь преобразуем оставшуюся дробь, выделив в её числителе знаменатель $(a+6)$:

$a + \frac{a + 6 - 4}{a + 6} = a + \left(\frac{a + 6}{a + 6} - \frac{4}{a + 6}\right) = a + \left(1 - \frac{4}{a + 6}\right) = a + 1 - \frac{4}{a + 6}$

Дробь представлена в виде разности целого выражения $(a+1)$ и дроби $\frac{4}{a + 6}$.

Ответ: $a + 1 - \frac{4}{a + 6}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}$. Преобразуем числитель, чтобы выделить множитель $(b-3)$. Для этого будем последовательно выделять целую часть. Сначала выделим множитель $(b-3)$ из слагаемого $3b^2$:

$\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3} = \frac{3b(b - 3) + 9b - 10b - 1}{b - 3} = \frac{3b(b - 3) - b - 1}{b - 3}$

Теперь разделим почленно на знаменатель:

$\frac{3b(b-3)}{b-3} + \frac{-b-1}{b-3} = 3b + \frac{-b-1}{b-3}$

Преобразуем оставшуюся дробь. Выделим в числителе $(-b-1)$ выражение $(b-3)$:

$\frac{-b-1}{b-3} = \frac{-(b+1)}{b-3} = \frac{-(b-3+4)}{b-3} = \frac{-(b-3)-4}{b-3} = \frac{-(b-3)}{b-3} - \frac{4}{b-3} = -1 - \frac{4}{b-3}$

Подставим это в наше выражение:

$3b + \left(-1 - \frac{4}{b-3}\right) = 3b - 1 - \frac{4}{b - 3}$

Исходная дробь представлена в виде разности целого выражения $(3b-1)$ и дроби $\frac{4}{b-3}$.

Ответ: $3b - 1 - \frac{4}{b - 3}$