Номер 227, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 227, страница 55.

227. Представьте в виде дроби:

а) $x + y + \frac{x-y}{4}$;

б) $m + n - \frac{1+mn}{n}$;

В) $a - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$;

Г) $a^2 - b^2 - \frac{a^3-b^3}{a+b}$.

а) Чтобы представить выражение $x + y + \frac{x-y}{4}$ в виде дроби, приведем все слагаемые к общему знаменателю 4. Для этого представим $x$ и $y$ в виде дробей со знаменателем 4:

$x + y + \frac{x-y}{4} = \frac{4x}{4} + \frac{4y}{4} + \frac{x-y}{4}$

Теперь, когда все слагаемые имеют общий знаменатель, сложим их числители:

$\frac{4x + 4y + (x-y)}{4} = \frac{4x + 4y + x - y}{4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x+x) + (4y-y)}{4} = \frac{5x + 3y}{4}$

Ответ: $\frac{5x + 3y}{4}$

б) Чтобы представить выражение $m + n - \frac{1+mn}{n}$ в виде дроби, приведем все слагаемые к общему знаменателю $n$.

$m + n - \frac{1+mn}{n} = \frac{m \cdot n}{n} + \frac{n \cdot n}{n} - \frac{1+mn}{n} = \frac{mn + n^2}{n} - \frac{1+mn}{n}$

Объединим числители под общим знаменателем. Важно учесть знак минуса перед второй дробью, который относится ко всему ее числителю $(1+mn)$:

$\frac{mn + n^2 - (1+mn)}{n} = \frac{mn + n^2 - 1 - mn}{n}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(mn-mn) + n^2 - 1}{n} = \frac{n^2 - 1}{n}$

Ответ: $\frac{n^2 - 1}{n}$

в) Чтобы представить выражение $a - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$ в виде дроби, приведем слагаемое $a$ к общему знаменателю $(a+b+c)$:

$a - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c} = \frac{a(a+b+c)}{a+b+c} - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$

Объединим выражения под общим знаменателем, учитывая знак минуса перед второй дробью:

$\frac{a(a+b+c) - (ab+ac+bc)}{a+b+c}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2 + ab + ac - ab - ac - bc}{a+b+c} = \frac{a^2 + (ab-ab) + (ac-ac) - bc}{a+b+c} = \frac{a^2 - bc}{a+b+c}$

Ответ: $\frac{a^2 - bc}{a+b+c}$

г) Чтобы представить выражение $a^2 - b^2 - \frac{a^3-b^3}{a+b}$ в виде дроби, приведем первое слагаемое $(a^2 - b^2)$ к общему знаменателю $(a+b)$:

$a^2 - b^2 - \frac{a^3-b^3}{a+b} = \frac{(a^2 - b^2)(a+b)}{a+b} - \frac{a^3-b^3}{a+b}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(a^2 - b^2)(a+b) - (a^3-b^3)}{a+b}$

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим $(a^2-b^2)$ и $(a+b)$:

$(a^2-b^2)(a+b) = a^3+a^2b-ab^2-b^3$

Теперь подставим результат в числитель дроби:

$\frac{a^3+a^2b-ab^2-b^3 - (a^3-b^3)}{a+b} = \frac{a^3+a^2b-ab^2-b^3 - a^3+b^3}{a+b}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^3-a^3) + ( -b^3+b^3) + a^2b-ab^2}{a+b} = \frac{a^2b-ab^2}{a+b}$

Для более компактного вида можно вынести общий множитель $ab$ за скобки в числителе:

$\frac{ab(a-b)}{a+b}$

Ответ: $\frac{ab(a-b)}{a+b}$