Страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

223. При каких натуральных n является натуральным числом значение выражения:

а) $ \frac{n+6}{n} $;

б) $ \frac{5n-12}{n} $;

в) $ \frac{36-n^2}{n^2} $?

а) Чтобы значение выражения $\frac{n+6}{n}$ было натуральным числом при натуральном $n$, представим его в виде суммы:
$\frac{n+6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{6}{n}$
Для того чтобы эта сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{6}{n}$ было натуральным числом (так как 1 уже натуральное). Это возможно только в том случае, если знаменатель $n$ является натуральным делителем числителя 6.
Натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
Проверим эти значения:
- при $n=1$, значение выражения равно $1 + \frac{6}{1} = 7$ (натуральное число).
- при $n=2$, значение выражения равно $1 + \frac{6}{2} = 1 + 3 = 4$ (натуральное число).
- при $n=3$, значение выражения равно $1 + \frac{6}{3} = 1 + 2 = 3$ (натуральное число).
- при $n=6$, значение выражения равно $1 + \frac{6}{6} = 1 + 1 = 2$ (натуральное число).
Таким образом, подходят четыре значения $n$.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

б) Чтобы значение выражения $\frac{5n-12}{n}$ было натуральным числом при натуральном $n$, представим его в виде разности:
$\frac{5n-12}{n} = \frac{5n}{n} - \frac{12}{n} = 5 - \frac{12}{n}$
Для того чтобы эта разность была натуральным числом, должны выполняться два условия:
1. Дробь $\frac{12}{n}$ должна быть целым числом, чтобы результат вычитания из 5 был целым. Это значит, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 12. Натуральные делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
2. Результат должен быть натуральным числом, то есть больше нуля: $5 - \frac{12}{n} > 0$. Это неравенство равносильно $5 > \frac{12}{n}$, или $5n > 12$, откуда $n > \frac{12}{5}$, то есть $n > 2.4$.
Теперь выберем из множества делителей {1, 2, 3, 4, 6, 12} те, которые удовлетворяют условию $n > 2.4$. Это числа: 3, 4, 6, 12.
Проверим эти значения:
- при $n=3$, значение выражения равно $5 - \frac{12}{3} = 5 - 4 = 1$ (натуральное число).
- при $n=4$, значение выражения равно $5 - \frac{12}{4} = 5 - 3 = 2$ (натуральное число).
- при $n=6$, значение выражения равно $5 - \frac{12}{6} = 5 - 2 = 3$ (натуральное число).
- при $n=12$, значение выражения равно $5 - \frac{12}{12} = 5 - 1 = 4$ (натуральное число).

Ответ: 3, 4, 6, 12.

в) Чтобы значение выражения $\frac{36-n^2}{n^2}$ было натуральным числом при натуральном $n$, представим его в виде разности:
$\frac{36-n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - 1$
Для того чтобы эта разность была натуральным числом, должны выполняться два условия:
1. Дробь $\frac{36}{n^2}$ должна быть целым числом. Это значит, что $n^2$ должно быть делителем числа 36.
2. Результат должен быть натуральным числом, то есть больше нуля: $\frac{36}{n^2} - 1 > 0$. Это неравенство равносильно $\frac{36}{n^2} > 1$, или $36 > n^2$.
Найдем натуральные $n$, для которых $n^2$ является делителем 36. Делителями 36, являющимися полными квадратами, являются 1 ($1^2$), 4 ($2^2$), 9 ($3^2$), 36 ($6^2$).
Следовательно, возможные значения для $n$: 1, 2, 3, 6.
Теперь проверим эти значения по второму условию $n^2 < 36$:
- для $n=1$, $1^2 = 1 < 36$. Подходит. Значение: $\frac{36}{1}-1 = 35$.
- для $n=2$, $2^2 = 4 < 36$. Подходит. Значение: $\frac{36}{4}-1 = 9-1 = 8$.
- для $n=3$, $3^2 = 9 < 36$. Подходит. Значение: $\frac{36}{9}-1 = 4-1 = 3$.
- для $n=6$, $6^2 = 36$. Условие $36 < 36$ неверно. Не подходит.
Таким образом, подходят три значения $n$.

Ответ: 1, 2, 3.

225. Зная, что $\frac{x+y}{y} = 3$, найдите значение выражения:

а) $\frac{x}{y}$;

б) $\frac{y}{x+y}$;

в) $\frac{x-y}{y}$;

г) $\frac{y}{x}$.

Для решения всех пунктов задачи мы будем использовать данное в условии равенство: $\frac{x+y}{y} = 3$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{x}{y}$, преобразуем исходное равенство. Разделим числитель дроби $\frac{x+y}{y}$ на знаменатель почленно:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 3$

Так как $\frac{y}{y} = 1$, получаем:

$\frac{x}{y} + 1 = 3$

Теперь выразим $\frac{x}{y}$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$\frac{x}{y} = 3 - 1$

$\frac{x}{y} = 2$

Ответ: 2

б) Требуется найти значение выражения $\frac{y}{x+y}$. Это выражение является обратным (перевернутым) к выражению $\frac{x+y}{y}$, данному в условии.

Если $\frac{x+y}{y} = 3$, то, чтобы найти значение обратной дроби, нужно 1 разделить на значение исходной дроби:

$\frac{y}{x+y} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{x-y}{y}$, так же, как и в пункте а), разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = \frac{x}{y} - 1$

Из решения пункта а) мы уже знаем, что $\frac{x}{y} = 2$. Подставим это значение в наше выражение:

$2 - 1 = 1$

Ответ: 1

г) Требуется найти значение выражения $\frac{y}{x}$. Это выражение является обратным к выражению $\frac{x}{y}$ из пункта а).

Поскольку мы нашли, что $\frac{x}{y} = 2$, то значение обратной дроби будет:

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

227. Представьте в виде дроби:

а) $x + y + \frac{x-y}{4}$;

б) $m + n - \frac{1+mn}{n}$;

В) $a - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$;

Г) $a^2 - b^2 - \frac{a^3-b^3}{a+b}$.

а) Чтобы представить выражение $x + y + \frac{x-y}{4}$ в виде дроби, приведем все слагаемые к общему знаменателю 4. Для этого представим $x$ и $y$ в виде дробей со знаменателем 4:

$x + y + \frac{x-y}{4} = \frac{4x}{4} + \frac{4y}{4} + \frac{x-y}{4}$

Теперь, когда все слагаемые имеют общий знаменатель, сложим их числители:

$\frac{4x + 4y + (x-y)}{4} = \frac{4x + 4y + x - y}{4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x+x) + (4y-y)}{4} = \frac{5x + 3y}{4}$

Ответ: $\frac{5x + 3y}{4}$

б) Чтобы представить выражение $m + n - \frac{1+mn}{n}$ в виде дроби, приведем все слагаемые к общему знаменателю $n$.

$m + n - \frac{1+mn}{n} = \frac{m \cdot n}{n} + \frac{n \cdot n}{n} - \frac{1+mn}{n} = \frac{mn + n^2}{n} - \frac{1+mn}{n}$

Объединим числители под общим знаменателем. Важно учесть знак минуса перед второй дробью, который относится ко всему ее числителю $(1+mn)$:

$\frac{mn + n^2 - (1+mn)}{n} = \frac{mn + n^2 - 1 - mn}{n}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(mn-mn) + n^2 - 1}{n} = \frac{n^2 - 1}{n}$

Ответ: $\frac{n^2 - 1}{n}$

в) Чтобы представить выражение $a - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$ в виде дроби, приведем слагаемое $a$ к общему знаменателю $(a+b+c)$:

$a - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c} = \frac{a(a+b+c)}{a+b+c} - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$

Объединим выражения под общим знаменателем, учитывая знак минуса перед второй дробью:

$\frac{a(a+b+c) - (ab+ac+bc)}{a+b+c}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2 + ab + ac - ab - ac - bc}{a+b+c} = \frac{a^2 + (ab-ab) + (ac-ac) - bc}{a+b+c} = \frac{a^2 - bc}{a+b+c}$

Ответ: $\frac{a^2 - bc}{a+b+c}$

г) Чтобы представить выражение $a^2 - b^2 - \frac{a^3-b^3}{a+b}$ в виде дроби, приведем первое слагаемое $(a^2 - b^2)$ к общему знаменателю $(a+b)$:

$a^2 - b^2 - \frac{a^3-b^3}{a+b} = \frac{(a^2 - b^2)(a+b)}{a+b} - \frac{a^3-b^3}{a+b}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(a^2 - b^2)(a+b) - (a^3-b^3)}{a+b}$

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим $(a^2-b^2)$ и $(a+b)$:

$(a^2-b^2)(a+b) = a^3+a^2b-ab^2-b^3$

Теперь подставим результат в числитель дроби:

$\frac{a^3+a^2b-ab^2-b^3 - (a^3-b^3)}{a+b} = \frac{a^3+a^2b-ab^2-b^3 - a^3+b^3}{a+b}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^3-a^3) + ( -b^3+b^3) + a^2b-ab^2}{a+b} = \frac{a^2b-ab^2}{a+b}$

Для более компактного вида можно вынести общий множитель $ab$ за скобки в числителе:

$\frac{ab(a-b)}{a+b}$

Ответ: $\frac{ab(a-b)}{a+b}$

229. Упростите выражение:

a) $\frac{2y^2 - y}{y^2 - y + \frac{1}{4}} - \frac{2y^2 + y}{y^2 + y + \frac{1}{4}} - \frac{1}{y^2 - \frac{1}{4}}$

б) $\frac{6a}{2,5a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2}$

а) $ \frac{2y^2 - y}{y^2 - y + \frac{1}{4}} - \frac{2y^2 + y}{y^2 + y + \frac{1}{4}} - \frac{1}{y^2 - \frac{1}{4}} $

Первым шагом разложим на множители знаменатели дробей. Мы видим, что первые два знаменателя являются полными квадратами (квадрат разности и квадрат суммы), а третий — разностью квадратов.

Знаменатель первой дроби: $y^2 - y + \frac{1}{4} = y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})^2$.

Знаменатель второй дроби: $y^2 + y + \frac{1}{4} = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y + \frac{1}{2})^2$.

Знаменатель третьей дроби: $y^2 - \frac{1}{4} = y^2 - (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})$.

Теперь разложим на множители числители первых двух дробей, вынеся общий множитель за скобки:

Числитель первой дроби: $2y^2 - y = y(2y - 1)$. Заметим, что $2y - 1 = 2(y - \frac{1}{2})$.

Числитель второй дроби: $2y^2 + y = y(2y + 1)$. Заметим, что $2y + 1 = 2(y + \frac{1}{2})$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$ \frac{y \cdot 2(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})^2} - \frac{y \cdot 2(y + \frac{1}{2})}{(y + \frac{1}{2})^2} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

Сократим первые две дроби (при условии, что $y \neq \pm\frac{1}{2}$):

$ \frac{2y}{y - \frac{1}{2}} - \frac{2y}{y + \frac{1}{2}} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})$:

$ \frac{2y(y + \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} - \frac{2y(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{2y(y + \frac{1}{2}) - 2y(y - \frac{1}{2}) - 1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} = \frac{(2y^2 + y) - (2y^2 - y) - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y^2 + y - 2y^2 + y - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} $

Разложим числитель на множители $2y - 1 = 2(y - \frac{1}{2})$ и подставим в выражение:

$ \frac{2(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

Сократим дробь на общий множитель $(y - \frac{1}{2})$:

$ \frac{2}{y + \frac{1}{2}} $

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2 \cdot 2}{(y + \frac{1}{2}) \cdot 2} = \frac{4}{2y + 1} $

Ответ: $ \frac{4}{2y+1} $.

б) $ \frac{6a}{2,5a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2} $

В данном выражении, вероятно, допущена опечатка в знаменателе первой дроби. Для того чтобы выражение можно было осмысленно упростить, скорее всего, имелось в виду $2,25a^2$ вместо $2,5a^2$, так как это позволяет использовать формулу разности квадратов и получить члены, связанные со вторым знаменателем. Решим задачу с этим исправлением.

Исправленное выражение: $ \frac{6a}{2,25a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2} $

Разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель — это разность квадратов, а во втором можно вынести общий множитель.

Знаменатель первой дроби: $2,25a^2 - 0,64 = (1,5a)^2 - (0,8)^2 = (1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)$.

Знаменатель второй дроби: $6a - 3,2 = 4(1,5a - 0,8)$.

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$ \frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} - \frac{8}{4(1,5a - 0,8)} $

Упростим вторую дробь:

$ \frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} - \frac{2}{1,5a - 0,8} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)$:

$ \frac{6a - 2(1,5a + 0,8)}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{6a - 3a - 1,6}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} = \frac{3a - 1,6}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2:

$ \frac{2(1,5a - 0,8)}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

Сократим дробь на общий множитель $(1,5a - 0,8)$ (при условии, что $1,5a - 0,8 \neq 0$):

$ \frac{2}{1,5a + 0,8} $

Чтобы избавиться от десятичных дробей в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{2 \cdot 10}{(1,5a + 0,8) \cdot 10} = \frac{20}{15a + 8} $

Ответ: $ \frac{20}{15a+8} $.

224. Найдите значение выражения, зная, что $\frac{x}{y}=5: $

a) $\frac{x+y}{y};$

б) $\frac{x-y}{y};$

в) $\frac{y}{x};$

г) $\frac{x+2y}{x}.$

Для решения всех подпунктов воспользуемся данным в условии равенством $\frac{x}{y} = 5$.

Чтобы найти значение выражения $\frac{x+y}{y}$, можно разделить числитель почленно на знаменатель:

$\frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{y}$

Мы знаем из условия, что $\frac{x}{y} = 5$. Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1, поэтому $\frac{y}{y} = 1$.

Подставим эти значения в выражение:

$5 + 1 = 6$

Ответ: 6

Чтобы найти значение выражения $\frac{x-y}{y}$, поступим аналогично предыдущему пункту, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y}$

Подставляем известные значения $\frac{x}{y} = 5$ и $\frac{y}{y} = 1$:

$5 - 1 = 4$

Ответ: 4

Выражение $\frac{y}{x}$ является обратным к выражению $\frac{x}{y}$.

Если $\frac{x}{y} = 5$, то для нахождения обратной дроби нужно "перевернуть" её. Число 5 можно представить как дробь $\frac{5}{1}$.

Следовательно, $\frac{y}{x} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

Чтобы найти значение выражения $\frac{x+2y}{x}$, снова разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{x+2y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2y}{x} = 1 + 2 \cdot \frac{y}{x}$

Из пункта в) мы знаем, что $\frac{y}{x} = \frac{1}{5}$. Подставим это значение:

$1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби $1.4$ или смешанного числа $1\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$

226. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $\frac{3b^2 - 5b - 1}{b^2y} + \frac{5b - 3}{by};$

б) $\frac{a^2 - a + 1}{a^3x} - \frac{x^2 - 1}{ax^3};$

В) $\frac{1 + c}{c^2y^4} - \frac{c^3 + y^4}{c^2y^8};$

Г) $\frac{c^2 + x^2}{c^2x^5} - \frac{c + x}{c^3x^3}.$

а) $\frac{3b^2-5b-1}{b^2y} + \frac{5b-3}{by}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $b^2y$ и $by$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — $b^2y$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Для второй дроби $\frac{5b-3}{by}$ дополнительным множителем является $b$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $b$:

$\frac{5b-3}{by} = \frac{(5b-3) \cdot b}{by \cdot b} = \frac{5b^2-3b}{b^2y}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3b^2-5b-1}{b^2y} + \frac{5b^2-3b}{b^2y} = \frac{(3b^2-5b-1) + (5b^2-3b)}{b^2y}$

Сложим многочлены в числителе, приводя подобные слагаемые:

$(3b^2+5b^2) + (-5b-3b) - 1 = 8b^2 - 8b - 1$

Таким образом, результат:

$\frac{8b^2 - 8b - 1}{b^2y}$

Ответ: $\frac{8b^2 - 8b - 1}{b^2y}$

б) $\frac{a^2-a+1}{a^3x} - \frac{x^2-1}{ax^3}$

Найдем наименьший общий знаменатель для $a^3x$ и $ax^3$. НОЗ равен $a^3x^3$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x^2$. Дополнительный множитель для второй дроби — $a^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a^2-a+1) \cdot x^2}{a^3x \cdot x^2} - \frac{(x^2-1) \cdot a^2}{ax^3 \cdot a^2} = \frac{a^2x^2-ax^2+x^2}{a^3x^3} - \frac{a^2x^2-a^2}{a^3x^3}$

Выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем:

$\frac{(a^2x^2-ax^2+x^2) - (a^2x^2-a^2)}{a^3x^3}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$a^2x^2-ax^2+x^2 - a^2x^2+a^2 = (a^2x^2-a^2x^2) - ax^2 + x^2 + a^2 = -ax^2+x^2+a^2$

Запишем результат, поменяв слагаемые местами для удобства:

$\frac{a^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3}$

Ответ: $\frac{a^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3}$

в) $\frac{1+c}{c^2y^4} - \frac{c^3+y^4}{c^2y^8}$

Наименьший общий знаменатель для $c^2y^4$ и $c^2y^8$ это $c^2y^8$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $y^4$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{(1+c) \cdot y^4}{c^2y^4 \cdot y^4} - \frac{c^3+y^4}{c^2y^8} = \frac{y^4+cy^4}{c^2y^8} - \frac{c^3+y^4}{c^2y^8}$

Выполним вычитание:

$\frac{(y^4+cy^4) - (c^3+y^4)}{c^2y^8} = \frac{y^4+cy^4 - c^3 - y^4}{c^2y^8}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(y^4-y^4) + cy^4 - c^3 = cy^4 - c^3$

Получаем дробь $\frac{cy^4 - c^3}{c^2y^8}$. Вынесем общий множитель $c$ в числителе:

$\frac{c(y^4 - c^2)}{c^2y^8}$

Сократим дробь на $c$:

$\frac{y^4 - c^2}{cy^8}$

Ответ: $\frac{y^4 - c^2}{cy^8}$

г) $\frac{c^2+x^2}{c^2x^5} - \frac{c+x}{c^3x^3}$

Наименьший общий знаменатель для $c^2x^5$ и $c^3x^3$ это $c^3x^5$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $c$. Дополнительный множитель для второй дроби — $x^2$.

$\frac{(c^2+x^2) \cdot c}{c^2x^5 \cdot c} - \frac{(c+x) \cdot x^2}{c^3x^3 \cdot x^2} = \frac{c^3+cx^2}{c^3x^5} - \frac{cx^2+x^3}{c^3x^5}$

Выполним вычитание:

$\frac{(c^3+cx^2) - (cx^2+x^3)}{c^3x^5} = \frac{c^3+cx^2 - cx^2 - x^3}{c^3x^5}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$c^3 + (cx^2 - cx^2) - x^3 = c^3 - x^3$

В результате получаем дробь:

$\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}$

Ответ: $\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}$

228. Упростите выражение:

a) $ \frac{mn+1}{m+n} + \frac{mn-1}{m-n} $

б) $ \frac{x+4a}{3a+3x} - \frac{a-4x}{3a-3x} $

а) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $ \frac{mn+1}{m+n} $ и $ \frac{mn-1}{m-n} $ равен $ (m+n)(m-n) $, что по формуле разности квадратов равно $ m^2-n^2 $.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (m-n) $, а второй дроби на $ (m+n) $:

$ \frac{mn+1}{m+n} + \frac{mn-1}{m-n} = \frac{(mn+1)(m-n)}{(m+n)(m-n)} + \frac{(mn-1)(m+n)}{(m-n)(m+n)} $

Теперь сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$ \frac{(mn+1)(m-n) + (mn-1)(m+n)}{m^2-n^2} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (mn+1)(m-n) = mn \cdot m - mn \cdot n + 1 \cdot m - 1 \cdot n = m^2n - mn^2 + m - n $

$ (mn-1)(m+n) = mn \cdot m + mn \cdot n - 1 \cdot m - 1 \cdot n = m^2n + mn^2 - m - n $

Сложим полученные выражения в числителе:

$ (m^2n - mn^2 + m - n) + (m^2n + mn^2 - m - n) = m^2n - mn^2 + m - n + m^2n + mn^2 - m - n $

Приведем подобные слагаемые:

$ (m^2n+m^2n) + (-mn^2+mn^2) + (m-m) + (-n-n) = 2m^2n - 2n $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2m^2n - 2n}{m^2-n^2} $

Можно вынести общий множитель $ 2n $ в числителе: $ \frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2} $. Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{2m^2n - 2n}{m^2-n^2} $.

б) Сначала упростим знаменатели дробей, вынеся общий множитель за скобки:

$ \frac{x+4a}{3a+3x} - \frac{a-4x}{3a-3x} = \frac{x+4a}{3(a+x)} - \frac{a-4x}{3(a-x)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $ 3(a+x)(a-x) $, что по формуле разности квадратов равно $ 3(a^2-x^2) $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a-x) $, а второй дроби на $ (a+x) $:

$ \frac{(x+4a)(a-x)}{3(a+x)(a-x)} - \frac{(a-4x)(a+x)}{3(a-x)(a+x)} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(x+4a)(a-x) - (a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (x+4a)(a-x) = xa - x^2 + 4a^2 - 4ax = 4a^2 - 3ax - x^2 $

$ (a-4x)(a+x) = a^2 + ax - 4ax - 4x^2 = a^2 - 3ax - 4x^2 $

Подставим раскрытые выражения в числитель и выполним вычитание (обращая внимание на знак "минус" перед второй скобкой):

$ (4a^2 - 3ax - x^2) - (a^2 - 3ax - 4x^2) = 4a^2 - 3ax - x^2 - a^2 + 3ax + 4x^2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (4a^2 - a^2) + (-3ax + 3ax) + (-x^2 + 4x^2) = 3a^2 + 3x^2 $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{3a^2 + 3x^2}{3(a^2-x^2)} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{3(a^2 + x^2)}{3(a^2 - x^2)} = \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2} $

Ответ: $ \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2} $.

230. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения равно нулю:

$\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)}.$

Чтобы доказать, что значение данного выражения равно нулю при всех допустимых значениях переменных, необходимо привести все дроби к общему знаменателю и выполнить сложение.

Исходное выражение: $$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} $$

Допустимыми значениями переменных являются те, при которых ни один из знаменателей не обращается в ноль. Это означает, что $ a \neq b $, $ b \neq c $ и $ c \neq a $.

Знаменатели дробей составлены из трех различных множителей: $ (a-b) $, $ (b-c) $ и $ (c-a) $. Следовательно, общий знаменатель для этих трех дробей — это их произведение: $ (a-b)(b-c)(c-a) $.

Приведем каждую дробь к этому общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающий множитель:

• Для первой дроби $ \frac{1}{(a-b)(b-c)} $ дополнительным множителем является $ (c-a) $. Получаем: $$ \frac{1 \cdot (c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
• Для второй дроби $ \frac{1}{(c-a)(a-b)} $ дополнительным множителем является $ (b-c) $. Получаем: $$ \frac{1 \cdot (b-c)}{(c-a)(a-b)(b-c)} = \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
• Для третьей дроби $ \frac{1}{(b-c)(c-a)} $ дополнительным множителем является $ (a-b) $. Получаем: $$ \frac{1 \cdot (a-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)} = \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Теперь сложим полученные дроби: $$ \frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители: $$ \frac{(c-a) + (b-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $$ c - a + b - c + a - b = (a - a) + (b - b) + (c - c) = 0 + 0 + 0 = 0 $$

В результате все выражение становится равным: $$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Поскольку для всех допустимых значений переменных знаменатель $ (a-b)(b-c)(c-a) $ не равен нулю, а числитель равен нулю, то значение всего выражения равно нулю. Это доказывает утверждение.

Ответ: После приведения дробей к общему знаменателю $ (a-b)(b-c)(c-a) $ и сложения, числитель полученной дроби становится равным $ (c-a) + (b-c) + (a-b) = 0 $. Так как знаменатель не равен нулю при допустимых значениях переменных, все выражение тождественно равно нулю.