Страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

253. Известно, что точка P(-9; 18) принадлежит графику функции, заданной формулой вида $y = \frac{k}{x}$. Найдите значение $k$.

Функция задана формулой вида $y = \frac{k}{x}$. Нам известно, что точка $P(-9; 18)$ принадлежит графику этой функции. Это означает, что координаты данной точки удовлетворяют уравнению функции.

Координаты точки $P$ — это $x = -9$ и $y = 18$. Подставим эти значения в формулу функции, чтобы найти неизвестный коэффициент $k$:

$18 = \frac{k}{-9}$

Чтобы решить это уравнение относительно $k$, умножим обе его части на $-9$:

$k = 18 \cdot (-9)$

$k = -162$

Таким образом, мы нашли значение коэффициента $k$.

Ответ: -162

255. Известно, что график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку A(10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку:

а) B(1; 24);

б) C($-\frac{1}{5}$; -120);

в) D(-2; 12);

г) E(-10; -2,4);

д) K(5; -1,2);

е) M(-2,5; -0,6)?

Функция задана уравнением $y = \frac{k}{x}$. Это обратная пропорциональность. Поскольку график функции проходит через точку A(10; 2,4), ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = 10$ и $y = 2,4$ в уравнение, чтобы найти коэффициент $k$.

$2,4 = \frac{k}{10}$

Отсюда находим $k$:

$k = 2,4 \cdot 10 = 24$

Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = \frac{24}{x}$.

Теперь проверим, принадлежат ли указанные точки этому графику. Точка принадлежит графику, если ее координаты $(x; y)$ удовлетворяют уравнению $y = \frac{24}{x}$, что равносильно проверке равенства $x \cdot y = 24$.

а) B(1; 24)

Проверим, выполняется ли равенство $x \cdot y = 24$ для координат точки B.

$1 \cdot 24 = 24$

$24 = 24$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку B.

Ответ: Да, проходит.

б) C($-\frac{1}{5}$; -120)

Подставляем координаты точки C в равенство $x \cdot y = 24$.

$(-\frac{1}{5}) \cdot (-120) = \frac{120}{5} = 24$

$24 = 24$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку C.

Ответ: Да, проходит.

в) D(-2; 12)

Подставляем координаты точки D в равенство $x \cdot y = 24$.

$(-2) \cdot 12 = -24$

$-24 \neq 24$

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку D.

Ответ: Нет, не проходит.

г) E(-10; -2,4)

Подставляем координаты точки E в равенство $x \cdot y = 24$.

$(-10) \cdot (-2,4) = 24$

$24 = 24$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку E.

Ответ: Да, проходит.

д) K(5; -1,2)

Подставляем координаты точки K в равенство $x \cdot y = 24$.

$5 \cdot (-1,2) = -6$

$-6 \neq 24$

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку K.

Ответ: Нет, не проходит.

е) M(-2,5; -0,6)

Подставляем координаты точки M в равенство $x \cdot y = 24$.

$(-2,5) \cdot (-0,6) = 1,5$

$1,5 \neq 24$

Равенство неверное, следовательно, график функции не проходит через точку M.

Ответ: Нет, не проходит.

257. Постройте график функции:

а) $y = \frac{4}{|x|}$;

б) $y = \frac{2,4}{|x|}$;

в) $y = \frac{1}{|x|}$;

г) $y = \frac{-1}{|x|}$;

д) $y = -\frac{6}{|x|}$;

е) $y = \frac{-3,6}{|x|}$.

а) Для построения графика функции $y = \frac{4}{|x|}$ используется общее правило для функций вида $y=f(|x|)$. Сначала строится график функции $y=f(x)$ для $x>0$, а затем эта часть графика симметрично отражается относительно оси ординат (оси OY).

В данном случае базовая функция $f(x) = \frac{4}{x}$.

1. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$ при $x > 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти, так как при $x>0$ значение $y$ также будет положительным. Для построения найдем несколько точек:
- при $x=1, y=4$; точка (1, 4)
- при $x=2, y=2$; точка (2, 2)
- при $x=4, y=1$; точка (4, 1)

2. Отразим эту ветвь симметрично относительно оси OY. Получим вторую ветвь, расположенную во второй координатной четверти. Она пройдет через симметричные точки: (-1, 4), (-2, 2), (-4, 1).

Итоговый график состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости ($y>0$), симметричных относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами графика.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{|x|}$ представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в I и II координатных четвертях, симметричные относительно оси OY. Асимптотами являются оси координат.

б) Построим график функции $y = \frac{2,4}{|x|}$.

Построение аналогично предыдущему пункту. Базовая функция $f(x) = \frac{2,4}{x}$.

1. Строим график $y = \frac{2,4}{x}$ для $x > 0$. Это ветвь гиперболы в I координатной четверти. Найдем несколько точек:
- при $x=1, y=2,4$; точка (1; 2,4)
- при $x=2, y=1,2$; точка (2; 1,2)
- при $x=2,4, y=1$; точка (2,4; 1)

2. Отражаем полученную ветвь симметрично относительно оси OY. Получаем вторую ветвь во II координатной четверти, проходящую через точки (-1; 2,4), (-2; 1,2), (-2,4; 1).

График состоит из двух симметричных относительно оси OY ветвей в I и II четвертях. Асимптоты — оси координат.

Ответ: График функции $y = \frac{2,4}{|x|}$ — это две ветви гиперболы в I и II координатных четвертях, симметричные относительно оси OY, с асимптотами в виде осей координат.

в) Построим график функции $y = \frac{1}{|x|}$.

Используем тот же подход. Базовая функция $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. Строим график $y = \frac{1}{x}$ для $x > 0$. Это ветвь гиперболы в I координатной четверти. Контрольные точки:
- при $x=1, y=1$; точка (1, 1)
- при $x=2, y=0,5$; точка (2; 0,5)
- при $x=0,5, y=2$; точка (0,5; 2)

2. Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси OY. Получаем вторую ветвь во II координатной четверти с точками (-1, 1), (-2; 0,5), (-0,5; 2).

График симметричен относительно оси OY, расположен в верхней полуплоскости. Асимптоты — оси координат.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях, симметричных относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами.

г) Построим график функции $y = \frac{-1}{|x|}$.

В этом случае коэффициент в числителе отрицательный. Базовая функция $f(x) = \frac{-1}{x}$.

1. Строим график функции $y = \frac{-1}{x}$ для $x > 0$. Так как $x>0$, то $y<0$. Следовательно, эта ветвь гиперболы находится в IV координатной четверти. Контрольные точки:
- при $x=1, y=-1$; точка (1, -1)
- при $x=2, y=-0,5$; точка (2; -0,5)
- при $x=0,5, y=-2$; точка (0,5; -2)

2. Отражаем построенную ветвь симметрично относительно оси OY. Получаем вторую ветвь, расположенную в III координатной четверти. Она проходит через точки (-1, -1), (-2; -0,5), (-0,5; -2).

Итоговый график состоит из двух ветвей, расположенных в нижней полуплоскости ($y<0$), симметричных относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами.

Ответ: График функции $y = \frac{-1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях, симметричных относительно оси OY. Асимптотами являются оси координат.

д) Построим график функции $y = -\frac{6}{|x|}$, что то же самое, что и $y = \frac{-6}{|x|}$.

Построение аналогично пункту г). Базовая функция $f(x) = \frac{-6}{x}$.

1. Строим график $y = \frac{-6}{x}$ для $x > 0$. Ветвь гиперболы находится в IV координатной четверти. Контрольные точки:
- при $x=1, y=-6$; точка (1, -6)
- при $x=2, y=-3$; точка (2, -3)
- при $x=3, y=-2$; точка (3, -2)
- при $x=6, y=-1$; точка (6, -1)

2. Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси OY. Получаем вторую ветвь в III координатной четверти с точками (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1).

График состоит из двух симметричных ветвей в нижней полуплоскости. Асимптоты — оси координат.

Ответ: График функции $y = -\frac{6}{|x|}$ — это две ветви гиперболы в III и IV координатных четвертях, симметричные относительно оси OY, с асимптотами в виде осей координат.

е) Построим график функции $y = \frac{-3,6}{|x|}$.

Действуем аналогично пунктам г) и д). Базовая функция $f(x) = \frac{-3,6}{x}$.

1. Строим график $y = \frac{-3,6}{x}$ для $x > 0$. Ветвь гиперболы расположена в IV координатной четверти. Контрольные точки:
- при $x=1, y=-3,6$; точка (1; -3,6)
- при $x=2, y=-1,8$; точка (2; -1,8)
- при $x=3,6, y=-1$; точка (3,6; -1)

2. Отражаем эту ветвь симметрично относительно оси OY и получаем вторую ветвь в III координатной четверти с точками (-1; -3,6), (-2; -1,8), (-3,6; -1).

График состоит из двух симметричных ветвей в III и IV четвертях. Асимптоты — оси координат.

Ответ: График функции $y = \frac{-3,6}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях, симметричных относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами.

259. Постройте график функции:

а) $y = \frac{|2x - 18|}{x - 9}$;

б) $y = \frac{|x + 3|}{3x + 9}$.

а) $y = \frac{|2x - 18|}{x - 9}$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 9 \neq 0$, следовательно, $x \neq 9$.

2. Упростим выражение, раскрыв модуль.
Выражение под знаком модуля $2x - 18$. Рассмотрим два случая в зависимости от его знака.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно: $2x - 18 \geq 0$.
$2x \geq 18$
$x \geq 9$
С учётом ОДЗ ($x \neq 9$), этот случай рассматривается для $x > 9$. При $x > 9$, $|2x - 18| = 2x - 18$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2x - 18}{x - 9} = \frac{2(x - 9)}{x - 9} = 2$.
Таким образом, для $x > 9$ график функции — это луч прямой $y=2$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно: $2x - 18 < 0$.
$2x < 18$
$x < 9$
При $x < 9$, $|2x - 18| = -(2x - 18) = -2x + 18$. Функция принимает вид:
$y = \frac{-2x + 18}{x - 9} = \frac{-2(x - 9)}{x - 9} = -2$.
Таким образом, для $x < 9$ график функции — это луч прямой $y=-2$.

3. Построение графика.
График функции состоит из двух частей:

• горизонтальный луч $y=2$, определённый для всех $x > 9$. Начальная точка этого луча, $(9, 2)$, выколота (не принадлежит графику).
• горизонтальный луч $y=-2$, определённый для всех $x < 9$. Конечная точка этого луча, $(9, -2)$, также выколота.

Ответ: График функции представляет собой два горизонтальных луча: $y = 2$ при $x \in (9; +\infty)$ и $y = -2$ при $x \in (-\infty; 9)$. Точки $(9; 2)$ и $(9; -2)$ являются выколотыми.

б) $y = \frac{|x + 3|}{3x + 9}$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $3x + 9 \neq 0$, следовательно, $3x \neq -9$, то есть $x \neq -3$.

2. Упростим выражение, раскрыв модуль.
Выражение под знаком модуля $x + 3$. Рассмотрим два случая в зависимости от его знака.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно: $x + 3 \geq 0$.
$x \geq -3$
С учётом ОДЗ ($x \neq -3$), этот случай рассматривается для $x > -3$. При $x > -3$, $|x + 3| = x + 3$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x + 3}{3x + 9} = \frac{x + 3}{3(x + 3)} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, для $x > -3$ график функции — это луч прямой $y=\frac{1}{3}$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно: $x + 3 < 0$.
$x < -3$
При $x < -3$, $|x + 3| = -(x + 3)$. Функция принимает вид:
$y = \frac{-(x + 3)}{3x + 9} = \frac{-(x + 3)}{3(x + 3)} = -\frac{1}{3}$.
Таким образом, для $x < -3$ график функции — это луч прямой $y=-\frac{1}{3}$.

3. Построение графика.
График функции состоит из двух частей:

• горизонтальный луч $y=\frac{1}{3}$, определённый для всех $x > -3$. Начальная точка этого луча, $(-3, \frac{1}{3})$, выколота.
• горизонтальный луч $y=-\frac{1}{3}$, определённый для всех $x < -3$. Конечная точка этого луча, $(-3, -\frac{1}{3})$, также выколота.

Ответ: График функции представляет собой два горизонтальных луча: $y = \frac{1}{3}$ при $x \in (-3; +\infty)$ и $y = -\frac{1}{3}$ при $x \in (-\infty; -3)$. Точки $(-3; \frac{1}{3})$ и $(-3; -\frac{1}{3})$ являются выколотыми.

252. Докажите, что если $z$ является средним гармоническим положительных чисел $a$ и $b$, причём $a \neq b$, то верно равенство

$\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$

По определению, среднее гармоническое $z$ двух положительных чисел $a$ и $b$ вычисляется по формуле:

$z = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Преобразуем это выражение, приведя дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$z = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь нам нужно доказать равенство: $\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

Для этого преобразуем левую часть равенства, подставив в нее полученное выражение для $z$.

Сначала найдем выражения для знаменателей $z-a$ и $z-b$:

$z - a = \frac{2ab}{a+b} - a = \frac{2ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{2ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{ab - a^2}{a+b} = \frac{a(b-a)}{a+b}$

$z - b = \frac{2ab}{a+b} - b = \frac{2ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{2ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{ab - b^2}{a+b} = \frac{b(a-b)}{a+b}$

Теперь подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства:

$\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{\frac{a(b-a)}{a+b}} + \frac{1}{\frac{b(a-b)}{a+b}}$

Перевернем дроби в знаменателях:

$\frac{a+b}{a(b-a)} + \frac{a+b}{b(a-b)}$

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что $b-a = -(a-b)$. Заменим $(b-a)$ в первой дроби:

$\frac{a+b}{-a(a-b)} + \frac{a+b}{b(a-b)} = -\frac{a+b}{a(a-b)} + \frac{a+b}{b(a-b)}$

Вынесем общий множитель $\frac{a+b}{a-b}$ за скобки. Это возможно, так как по условию $a \ne b$, следовательно, $a-b \ne 0$.

$\frac{a+b}{a-b} \cdot \left(-\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$\frac{a+b}{a-b} \cdot \left(\frac{-b+a}{ab}\right) = \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{ab}$

Сократим дробь на $(a-b)$:

$\frac{a+b}{ab}$

Теперь разделим полученное выражение на две дроби:

$\frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ верно, так как после подстановки определения среднего гармонического $z = \frac{2ab}{a+b}$ и алгебраических преобразований левая часть тождественно равна правой.

254. Принадлежит ли графику функции $y = \frac{1}{x}$ точка:

а) A(40; 0,025);

б) B(0,03125; 32);

в) C(0,016; $6\frac{1}{4}$);

г) D(0,125; 0,8)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = \frac{1}{x}$, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получится верное числовое равенство $y_0 = \frac{1}{x_0}$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит. Это равенство также можно проверить в виде $x_0 \cdot y_0 = 1$.

а) A(40; 0,025)

Проверим, выполняется ли равенство для точки A, у которой $x = 40$ и $y = 0,025$.

Подставим значение $x=40$ в уравнение функции:

$y = \frac{1}{40}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

$y = 1 \div 40 = 0,025$

Полученное значение $y=0,025$ совпадает с ординатой точки A. Равенство $0,025 = \frac{1}{40}$ верно.

Ответ: да, принадлежит.

б) B(0,03125; 32)

Проверим точку B с координатами $x = 0,03125$ и $y = 32$. Воспользуемся проверкой через произведение координат: $x \cdot y = 1$.

$0,03125 \cdot 32$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,03125$ в виде обыкновенной. $0,03125 = \frac{3125}{100000}$. Сократив эту дробь, получим $\frac{1}{32}$.

Тогда произведение равно:

$\frac{1}{32} \cdot 32 = 1$

Так как произведение координат равно 1, точка B принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

в) C(0,016; $6\frac{1}{4}$)

Проверим точку C с координатами $x = 0,016$ и $y = 6\frac{1}{4}$.

Переведем обе координаты в удобный для сравнения вид. Представим их в виде обыкновенных дробей.

$x = 0,016 = \frac{16}{1000} = \frac{2}{125}$

$y = 6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

Теперь подставим $x$ в уравнение функции $y = \frac{1}{x}$:

$y = \frac{1}{2/125} = \frac{125}{2}$

Сравним полученное значение с ординатой точки C:

$\frac{125}{2}$ и $\frac{25}{4}$. Приведем к общему знаменателю 4: $\frac{250}{4}$ и $\frac{25}{4}$.

Так как $\frac{250}{4} \ne \frac{25}{4}$, точка C не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) D(0,125; 0,8)

Проверим точку D с координатами $x = 0,125$ и $y = 0,8$. Используем проверку $x \cdot y = 1$.

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$x = 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

$y = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Вычислим произведение координат:

$x \cdot y = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$

Поскольку $x \cdot y = \frac{1}{10}$, а не 1, точка D не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

256. Найдите область определения функции и постройте её график:

а) $y = \frac{36}{(x+1)^2 - (x-1)^2}$;

б) $y = \frac{18-12x}{x^2-3x} - \frac{6}{3-x}$;

в) $y = \frac{16}{(2-x)^2 - (2+x)^2}$;

г) $y = \frac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}$.

а)

Дана функция $y = \frac{36}{(x+1)^2 - (x-1)^2}$.

1. Нахождение области определения.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю:

$(x+1)^2 - (x-1)^2 \neq 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((x+1) - (x-1)) \cdot ((x+1) + (x-1)) \neq 0$

$(x+1-x+1) \cdot (x+1+x-1) \neq 0$

$2 \cdot 2x \neq 0$

$4x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Упростим выражение для функции, используя преобразование знаменателя, полученное выше:

$y = \frac{36}{4x} = \frac{9}{x}$.

График функции $y = \frac{9}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k=9$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$. Область определения исходной функции совпадает с естественной областью определения упрощенной функции.

Несколько точек для построения графика:
Если $x=1$, то $y=9$.
Если $x=3$, то $y=3$.
Если $x=9$, то $y=1$.
Если $x=-1$, то $y=-9$.
Если $x=-3$, то $y=-3$.
Если $x=-9$, то $y=-1$.

График представляет собой гиперболу, симметричную относительно начала координат, проходящую через указанные точки.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{9}{x}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях; асимптоты — оси координат.

б)

Дана функция $y = \frac{18 - 12x}{x^2 - 3x} - \frac{6}{3 - x}$.

1. Нахождение области определения.

Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x^2 - 3x \neq 0 \implies x(x-3) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 3$.

$3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Объединяя условия, получаем, что область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Преобразуем выражение, приводя дроби к общему знаменателю:

$y = \frac{18 - 12x}{x(x - 3)} - \frac{6}{-(x - 3)} = \frac{18 - 12x}{x(x - 3)} + \frac{6}{x - 3}$

$y = \frac{18 - 12x + 6x}{x(x - 3)} = \frac{18 - 6x}{x(x - 3)}$

Вынесем в числителе общий множитель -6 и сократим дробь:

$y = \frac{-6(x - 3)}{x(x - 3)} = -\frac{6}{x}$ (при условии, что $x \neq 3$).

График исходной функции совпадает с графиком гиперболы $y = -\frac{6}{x}$, за исключением точки, абсцисса которой $x=3$ (из ОДЗ). Это "выколотая" точка.

Найдем ординату выколотой точки, подставив $x=3$ в упрощенную функцию: $y = -\frac{6}{3} = -2$.

Таким образом, выколотая точка имеет координаты $(3, -2)$.

График функции $y = -\frac{6}{x}$ — гипербола. Так как $k=-6 < 0$, ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.

График представляет собой гиперболу с асимптотами $x=0, y=0$, расположенную во II и IV четвертях, с выколотой точкой $(3, -2)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции — гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(3, -2)$.

в)

Дана функция $y = \frac{16}{(2-x)^2 - (2+x)^2}$.

1. Нахождение области определения.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$(2-x)^2 - (2+x)^2 \neq 0$

Используем формулу разности квадратов:

$((2-x) - (2+x)) \cdot ((2-x) + (2+x)) \neq 0$

$(2-x-2-x) \cdot (2-x+2+x) \neq 0$

$(-2x) \cdot 4 \neq 0$

$-8x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Упростим знаменатель: $(2-x)^2 - (2+x)^2 = -8x$.

Функция принимает вид: $y = \frac{16}{-8x} = -\frac{2}{x}$.

График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=-2 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ и $y=0$. Область определения исходной функции совпадает с областью определения упрощенной.

Несколько точек для построения графика:
Если $x=1$, то $y=-2$.
Если $x=2$, то $y=-1$.
Если $x=-1$, то $y=2$.
Если $x=-2$, то $y=1$.

График представляет собой гиперболу, симметричную относительно начала координат, проходящую через указанные точки.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = -\frac{2}{x}$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях; асимптоты — оси координат.

г)

Дана функция $y = \frac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}$.

1. Нахождение области определения.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x(x+5) \neq 0$.

Это означает, что $x \neq 0$ и $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упрощение функции и построение графика.

Упростим числитель:

$3x(x+1) - 3x^2 + 15 = 3x^2 + 3x - 3x^2 + 15 = 3x + 15$.

Подставим упрощенный числитель в функцию:

$y = \frac{3x + 15}{x(x+5)} = \frac{3(x + 5)}{x(x+5)}$.

Так как по ОДЗ $x \neq -5$, мы можем сократить дробь на $(x+5)$:

$y = \frac{3}{x}$.

График исходной функции — это гипербола $y = \frac{3}{x}$ с "выколотой" точкой при $x=-5$.

Найдём координаты выколотой точки, подставив $x=-5$ в упрощенную функцию: $y = \frac{3}{-5} = -0.6$.

Координаты выколотой точки: $(-5, -0.6)$.

График функции $y = \frac{3}{x}$ — гипербола. Так как $k=3 > 0$, ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.

График представляет собой гиперболу с асимптотами $x=0, y=0$, расположенную в I и III четвертях, с выколотой точкой $(-5, -0.6)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(-5, -0.6)$.

258. Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 16}{|x - 4|};$

б) $y = \frac{x^2 - 25}{5 + |x|}.$

а) $y = \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$|x - 4| \neq 0$, что означает $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = 4$. В этой точке на графике будет разрыв.

2. Упростим выражение функции. Числитель $x^2 - 16$ является разностью квадратов и раскладывается на множители:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
Подставим это в исходное уравнение: $y = \frac{(x - 4)(x + 4)}{|x - 4|}$.

3. Раскроем модуль в знаменателе, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: Если $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
В этом случае $|x - 4| = x - 4$.
Функция принимает вид: $y = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$.
Это уравнение прямой. Таким образом, при $x > 4$ график функции является лучом прямой $y = x + 4$.

Случай 2: Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
В этом случае $|x - 4| = -(x - 4)$.
Функция принимает вид: $y = \frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)} = -(x + 4) = -x - 4$.
Это также уравнение прямой. Таким образом, при $x < 4$ график функции является лучом прямой $y = -x - 4$.

4. Итоговый график состоит из двух лучей. Так как точка $x=4$ не входит в ОДЗ, на концах лучей будут выколотые точки.
- Для луча $y = x + 4$ ($x > 4$) найдем координаты выколотой точки, подставив $x = 4$: $y = 4 + 4 = 8$. Координаты точки: $(4, 8)$.
- Для луча $y = -x - 4$ ($x < 4$) найдем координаты выколотой точки, подставив $x = 4$: $y = -4 - 4 = -8$. Координаты точки: $(4, -8)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей: луча прямой $y = x+4$ для $x > 4$, начинающегося в выколотой точке $(4, 8)$, и луча прямой $y = -x-4$ для $x < 4$, начинающегося в выколотой точке $(4, -8)$.

б) $y = \frac{x^2 - 25}{5 + |x|}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби равен $5 + |x|$.
Поскольку по определению модуля $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то знаменатель $5 + |x| \ge 5$.
Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль, и функция определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Упростим выражение функции. Воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$. Тогда числитель можно представить в виде $|x|^2 - 25$ и разложить на множители как разность квадратов:
$y = \frac{|x|^2 - 25}{5 + |x|} = \frac{(|x| - 5)(|x| + 5)}{5 + |x|}$.

3. Так как выражение $5 + |x|$ в знаменателе всегда положительно, мы можем сократить на него дробь:
$y = |x| - 5$.

4. График функции $y = |x| - 5$ получается из графика функции $y = |x|$ путем сдвига на 5 единиц вниз вдоль оси ординат (Oy).
График $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат $(0, 0)$.
Соответственно, график функции $y = |x| - 5$ — это такая же "галочка", но с вершиной в точке $(0, -5)$.
Он состоит из двух лучей, выходящих из этой точки: - луч $y = x - 5$ при $x \ge 0$; - луч $y = -x - 5$ при $x < 0$.

Ответ: График функции представляет собой график функции $y = |x| - 5$. Это объединение двух лучей: $y = x - 5$ при $x \ge 0$ и $y = -x - 5$ при $x < 0$, которые соединяются в точке $(0, -5)$, являющейся вершиной графика.