Страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

261. Могут ли графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ пересекаться:

а) только в одной точке;

б) только в двух точках;

в) в трёх точках?

Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$, необходимо найти общие решения для этой системы уравнений. Приравняем правые части выражений для $y$:

$$ \frac{k}{x} = ax + b $$

Область определения функции $y = \frac{k}{x}$ исключает значение $x=0$. Поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $x$, не опасаясь потери корней или появления посторонних корней (кроме $x=0$, который и так не является решением).

$$ k = x(ax + b) $$

$$ k = ax^2 + bx $$

Перенеся все слагаемые в одну сторону, получим стандартное квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$$ ax^2 + bx - k = 0 $$

Количество точек пересечения графиков соответствует количеству действительных корней этого уравнения. Проанализируем возможные случаи.

а) только в одной точке;

Да, графики могут пересекаться ровно в одной точке. Это возможно в двух основных ситуациях.

Случай 1: Линейная функция является константой ($a=0$).

Если коэффициент $a=0$, то прямая имеет вид $y=b$. Уравнение для нахождения абсцисс точек пересечения становится линейным: $0 \cdot x^2 + bx - k = 0$, или $bx = k$. Если $b \neq 0$, это уравнение имеет ровно один корень: $x = \frac{k}{b}$. Следовательно, графики имеют одну точку пересечения.

Пример: Для функций $y = \frac{2}{x}$ (здесь $k=2$) и $y=1$ (здесь $a=0, b=1$) уравнение пересечения $\frac{2}{x} = 1$ дает один корень $x=2$. Точка пересечения — $(2, 1)$.

Случай 2: Прямая является касательной к гиперболе ($a \neq 0$).

Квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ имеет ровно один действительный корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.

$$ D = b^2 - 4(a)(-k) = b^2 + 4ak $$

Если $b^2 + 4ak = 0$, то уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{b}{2a}$, что соответствует одной точке пересечения (точке касания).

Пример: Для функций $y = \frac{1}{x}$ ($k=1$) и $y = -x + 2$ ($a=-1, b=2$). Уравнение пересечения $\frac{1}{x} = -x+2$ преобразуется в $x^2 - 2x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$. Уравнение $(x-1)^2 = 0$ имеет один корень $x=1$. Точка касания — $(1, 1)$.

Ответ: да, могут.

б) только в двух точках;

Да, графики могут пересекаться в двух точках. Это наиболее общий случай, когда прямая является секущей для гиперболы.

Это происходит, когда квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ (при $a \neq 0$) имеет два различных действительных корня. Условием для этого является положительный дискриминант:

$$ D = b^2 + 4ak > 0 $$

Если это условие выполнено, уравнение будет иметь два различных корня $x_1$ и $x_2$, что соответствует двум точкам пересечения.

Пример: Для функций $y = \frac{4}{x}$ ($k=4$) и $y = x$ ($a=1, b=0$). Уравнение пересечения $\frac{4}{x} = x$ преобразуется в $x^2 = 4$. Это уравнение имеет два корня: $x_1=2$ и $x_2=-2$. Точки пересечения — $(2, 2)$ и $(-2, -2)$. Дискриминант для $x^2 + 0x - 4 = 0$ равен $D = 0^2 - 4(1)(-4) = 16 > 0$.

Ответ: да, могут.

в) в трёх точках?

Нет, графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ не могут пересекаться в трёх точках.

Как было показано ранее, абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения $ax^2 + bx - k = 0$.

• Если $a \neq 0$, это уравнение является квадратным и может иметь не более двух действительных корней.
• Если $a=0$, уравнение становится линейным ($bx - k = 0$) и при $b \neq 0$ имеет ровно один корень. Если же и $b=0$, то уравнение принимает вид $-k=0$, которое либо не имеет корней (при $k \neq 0$), либо верно для любого $x$ (при $k=0$), но в последнем случае функция $y=k/x$ не является гиперболой.

Таким образом, максимальное число точек пересечения прямой и гиперболы равно двум. Следовательно, три точки пересечения невозможны.

Ответ: нет, не могут.

260. При каких значениях $k$ и $b$ гипербола $y = \frac{k}{x}$ и прямая

$y = kx + b$ проходят через точку:

а) P(2; 1);

б) Q(-2; 3);

в) R(-1; 1)?

Для того чтобы графики гиперболы $y = \frac{k}{x}$ и прямой $y = kx + b$ проходили через заданную точку, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Это означает, что если точка имеет координаты $(x_0, y_0)$, то должны выполняться два равенства:

$y_0 = \frac{k}{x_0}$

$y_0 = kx_0 + b$

Таким образом, для каждой точки мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $k$ и $b$. Решим эту систему для каждого из предложенных случаев.

а) P(2; 1)

Подставляем координаты точки $x=2$ и $y=1$ в уравнения.
Из уравнения гиперболы находим коэффициент $k$:
$1 = \frac{k}{2}$
$k = 1 \cdot 2 = 2$

Теперь, зная значение $k=2$, подставляем его и координаты точки в уравнение прямой, чтобы найти коэффициент $b$:
$1 = 2 \cdot 2 + b$
$1 = 4 + b$
$b = 1 - 4 = -3$

Таким образом, при $k=2$ и $b=-3$ оба графика проходят через точку P(2; 1).

Ответ: $k=2, b=-3$.

б) Q(-2; 3)

Подставляем координаты точки $x=-2$ и $y=3$ в уравнения.
Находим $k$ из уравнения гиперболы:
$3 = \frac{k}{-2}$
$k = 3 \cdot (-2) = -6$

Теперь находим $b$ из уравнения прямой, используя найденное значение $k=-6$ и координаты точки:
$3 = (-6) \cdot (-2) + b$
$3 = 12 + b$
$b = 3 - 12 = -9$

Таким образом, при $k=-6$ и $b=-9$ оба графика проходят через точку Q(-2; 3).

Ответ: $k=-6, b=-9$.

в) R(-1; 1)

Подставляем координаты точки $x=-1$ и $y=1$ в уравнения.
Находим $k$ из уравнения гиперболы:
$1 = \frac{k}{-1}$
$k = 1 \cdot (-1) = -1$

Находим $b$ из уравнения прямой, используя $k=-1$ и координаты точки:
$1 = (-1) \cdot (-1) + b$
$1 = 1 + b$
$b = 1 - 1 = 0$

Таким образом, при $k=-1$ и $b=0$ оба графика проходят через точку R(-1; 1).

Ответ: $k=-1, b=0$.

262. Могут ли графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ пересекаться в двух точках, лежащих:

a) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях?

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{k}{x} \\ y = ax + b \end{cases} $

Приравнивая правые части, получаем уравнение относительно $x$: $\frac{k}{x} = ax + b$.

Поскольку $x \neq 0$ (из области определения функции $y = \frac{k}{x}$), мы можем умножить обе части уравнения на $x$: $k = ax^2 + bx$, что эквивалентно квадратному уравнению: $ax^2 + bx - k = 0$.

Графики пересекаются в двух точках, если это квадратное уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). Это происходит, когда дискриминант $D = b^2 - 4a(-k) = b^2 + 4ak$ строго больше нуля ($D > 0$).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) в одной четверти;

Да, могут. Две точки пересечения могут лежать в одной координатной четверти. Это происходит, когда прямая пересекает одну и ту же ветвь гиперболы дважды.

Рассмотрим случай, когда обе точки лежат в первой четверти. Для этого необходимо, чтобы обе координаты $x$ и $y$ для обеих точек были положительны. Если точка пересечения $(x, y)$ лежит в первой четверти ($x > 0, y > 0$), то из уравнения гиперболы $y = \frac{k}{x}$ следует, что $k = xy > 0$. Значит, ветви гиперболы должны находиться в первой и третьей четвертях.

Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ (при $k > 0$) имело два различных положительных корня ($x_1 > 0$ и $x_2 > 0$). Согласно теореме Виета, для этого должны выполняться следующие условия: дискриминант $D = b^2 + 4ak > 0$, произведение корней $x_1 x_2 = \frac{-k}{a} > 0$ и сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} > 0$.

Из условия $x_1 x_2 > 0$ и того, что $k > 0$, следует, что $a < 0$. Из условия $x_1 + x_2 > 0$ и того, что $a < 0$, следует, что $-b < 0$, то есть $b > 0$. Условие на дискриминант $D > 0$ при $a < 0$ и $k > 0$ принимает вид $b^2 > -4ak$.

Такие значения $a, b, k$ существуют. Например, выберем $k=1, a=-1, b=3$. Тогда рассматриваются гипербола $y = \frac{1}{x}$ и прямая $y = -x + 3$. Уравнение для нахождения точек пересечения: $x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Оба корня положительны. Поскольку $k=1 > 0$, соответствующие значения $y_1 = 1/x_1$ и $y_2 = 1/x_2$ также положительны. Следовательно, обе точки пересечения лежат в первой четверти.

Ответ: Да, могут.

б) в первой и второй четвертях;

Нет, не могут.

График функции $y = \frac{k}{x}$ (гипербола) имеет две ветви. Если коэффициент $k > 0$, ветви гиперболы расположены в первой ($x > 0, y > 0$) и третьей ($x < 0, y < 0$) координатных четвертях. Если коэффициент $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй ($x < 0, y > 0$) и четвертой ($x > 0, y < 0$) координатных четвертях.

Чтобы одна точка пересечения лежала в первой четверти ($x_1 > 0, y_1 > 0$), необходимо, чтобы $k = x_1 y_1 > 0$. Чтобы другая точка пересечения лежала во второй четверти ($x_2 < 0, y_2 > 0$), необходимо, чтобы $k = x_2 y_2 < 0$.

Поскольку для одной и той же функции $y = \frac{k}{x}$ коэффициент $k$ является постоянной величиной, он не может быть одновременно положительным и отрицательным. Таким образом, одна и та же гипербола не может проходить одновременно через первую и вторую четверти. Следовательно, прямая не может пересечь ее в этих двух четвертях.

Ответ: Нет, не могут.

в) в первой и третьей четвертях?

Да, могут. Это происходит, когда прямая пересекает обе ветви гиперболы.

Чтобы одна точка пересечения лежала в первой четверти ($x_1 > 0, y_1 > 0$), из $y_1 = k/x_1$ следует, что $k > 0$. Чтобы вторая точка пересечения лежала в третьей четверти ($x_2 < 0, y_2 < 0$), из $y_2 = k/x_2$ следует, что $k > 0$. Оба условия согласуются: коэффициент $k$ должен быть положительным. В этом случае ветви гиперболы как раз расположены в первой и третьей четвертях.

Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ (при $k > 0$) имело два корня разных знаков: один положительный ($x_1 > 0$) и один отрицательный ($x_2 < 0$). Условием этого является отрицательное произведение корней: $x_1 x_2 < 0$. По теореме Виета, $x_1 x_2 = \frac{-k}{a}$. Так как $k > 0$, неравенство $\frac{-k}{a} < 0$ выполняется при $a > 0$. При $a > 0$ и $k > 0$ дискриминант $D = b^2 + 4ak$ всегда положителен, что гарантирует наличие двух различных корней.

Такие значения $a, b, k$ существуют. Например, рассмотрим самый простой случай: $k=1, a=1, b=0$. Тогда рассматриваются гипербола $y = \frac{1}{x}$ и прямая $y = x$. Решаем уравнение $\frac{1}{x} = x$, откуда $x^2 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Для $x_1 = 1$ получаем $y_1 = 1$, и точка $(1, 1)$ лежит в первой четверти. Для $x_2 = -1$ получаем $y_2 = -1$, и точка $(-1, -1)$ лежит в третьей четверти.

Следовательно, графики могут пересекаться в первой и третьей четвертях.

Ответ: Да, могут.