Страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

215. Сократите дробь:

а) $ \frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ab - 2a - 2b}; $

Б) $ \frac{6x^2 - 3xy + 4x - 2y}{9x^2 + 12x + 4}. $

В) $ \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3}; $

Г) $ \frac{27x^3 - y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2}. $

а) Для сокращения дроби $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ab - 2a - 2b}$ необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.
Знаменатель разложим на множители методом группировки: $a^2 + ab - 2a - 2b = (a^2 + ab) - (2a + 2b) = a(a+b) - 2(a+b) = (a-2)(a+b)$.
Получаем дробь: $\frac{(a-2)^2}{(a-2)(a+b)}$.
Сокращаем общий множитель $(a-2)$, при условии, что $a \neq 2$.
$\frac{a-2}{a+b}$.
Ответ: $\frac{a-2}{a+b}$

б) Для сокращения дроби $\frac{6x^2 - 3xy + 4x - 2y}{9x^2 + 12x + 4}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель разложим на множители методом группировки: $6x^2 - 3xy + 4x - 2y = (6x^2 - 3xy) + (4x - 2y) = 3x(2x-y) + 2(2x-y) = (3x+2)(2x-y)$.
Знаменатель представляет собой формулу квадрата суммы: $9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = (3x+2)^2$.
Получаем дробь: $\frac{(3x+2)(2x-y)}{(3x+2)^2}$.
Сокращаем общий множитель $(3x+2)$, при условии, что $x \neq -\frac{2}{3}$.
$\frac{2x-y}{3x+2}$.
Ответ: $\frac{2x-y}{3x+2}$

в) Для сокращения дроби $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является квадратом суммы: $a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.
Знаменатель является суммой кубов: $a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a+2b)(a^2 - a(2b) + (2b)^2) = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.
Получаем дробь: $\frac{(a+2b)^2}{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}$.
Сокращаем общий множитель $(a+2b)$, при условии, что $a \neq -2b$.
$\frac{a+2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}$.
Ответ: $\frac{a+2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}$

г) Для сокращения дроби $\frac{27x^3 - y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является разностью кубов: $27x^3 - y^3 = (3x)^3 - y^3 = (3x-y)((3x)^2 + 3x \cdot y + y^2) = (3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $18x^2 + 6xy + 2y^2 = 2(9x^2+3xy+y^2)$.
Получаем дробь: $\frac{(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)}{2(9x^2+3xy+y^2)}$.
Сокращаем общий множитель $(9x^2+3xy+y^2)$, который не равен нулю при любых $x$ и $y$, не равных нулю одновременно.
$\frac{3x-y}{2}$.
Ответ: $\frac{3x-y}{2}$

217. Докажите, что если в дроби $\frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy}$ переменные $x$ и $y$ заменить соответственно на $kx$ и $ky$, где $k \neq 0$, то получится дробь, тождественно равная первоначальной.

Для доказательства утверждения выполним указанную замену переменных в дроби и упростим полученное выражение.

Исходная дробь имеет вид:$ \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $.

Согласно условию, заменим в ней переменные $x$ на $kx$ и $y$ на $ky$, где $k \ne 0$. Получим новое выражение:$$ \frac{(kx)^2 - 2(ky)^2}{3(ky)^2 + 5(kx)(ky)} $$

Теперь раскроем скобки в числителе и знаменателе полученной дроби:$$ \frac{k^2x^2 - 2k^2y^2}{3k^2y^2 + 5k^2xy} $$

В числителе и знаменателе есть общий множитель $k^2$, который можно вынести за скобки:$$ \frac{k^2(x^2 - 2y^2)}{k^2(3y^2 + 5xy)} $$

Поскольку по условию задачи $k \ne 0$, следовательно, $k^2 \ne 0$. Значит, мы можем сократить дробь на $k^2$:$$ \frac{\cancel{k^2}(x^2 - 2y^2)}{\cancel{k^2}(3y^2 + 5xy)} = \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $$

В результате выполненных преобразований мы получили дробь, которая в точности совпадает с первоначальной. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: После подстановки $x=kx$ и $y=ky$ в исходную дробь и последующих упрощений, выражение принимает вид $\frac{k^2(x^2 - 2y^2)}{k^2(3y^2 + 5xy)}$. Так как $k \ne 0$, этот множитель можно сократить, в результате чего получается дробь $\frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy}$, тождественно равная первоначальной.

219. Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$, то $a = b = c$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся исходным равенством пропорций.

По условию нам дано: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$.

Прежде всего, следует отметить, что для того, чтобы данные дроби имели смысл, их знаменатели не должны равняться нулю. Это означает, что $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

Обозначим общее значение этих трех равных дробей некоторой константой $k$:

$k = \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$

Теперь мы можем перемножить все три дроби. С одной стороны, их произведение равно $k \cdot k \cdot k = k^3$. С другой стороны, произведение равно:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c \cdot a}$

Сократив числитель и знаменатель, получаем:

$\frac{abc}{abc} = 1$

Приравнивая два выражения для произведения, получаем уравнение относительно $k$:

$k^3 = 1$

Если мы рассматриваем переменные $a, b, c$ как вещественные числа (что является стандартным предположением в таких задачах), то единственным вещественным решением уравнения $k^3=1$ является $k=1$.

Зная, что $k=1$, вернемся к исходным равенствам:

Из $\frac{a}{b} = k$ следует, что $\frac{a}{b} = 1$, откуда $a=b$.

Из $\frac{b}{c} = k$ следует, что $\frac{b}{c} = 1$, откуда $b=c$.

Таким образом, мы получили, что $a=b$ и $b=c$. Из этого логически следует, что все три числа равны между собой: $a = b = c$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$ и $a, b, c$ являются вещественными числами, то из этого следует, что $a=b=c$.

216. Выполните сокращение:

a) $\frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1}$;

б) $\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}`;$

B) $\frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2}$;

Г) $\frac{a(b + 1)^2 - b(a + 1)^2}{a(b + 1) - b(a + 1)}$.

а) $ \frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1} $
Знаменатель $b^{21} + 1$ можно представить как сумму кубов, используя замену $b^{21} = (b^7)^3$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + c^3 = (a+c)(a^2 - ac + c^2)$, где $a = b^7$ и $c = 1$:
$ b^{21} + 1 = (b^7)^3 + 1^3 = (b^7 + 1)((b^7)^2 - b^7 \cdot 1 + 1^2) = (b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1) $.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{b^{14} - b^7 + 1}{(b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1)} $.
Сократим общий множитель $(b^{14} - b^7 + 1)$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{1}{b^7 + 1} $.
Ответ: $ \frac{1}{b^7 + 1} $.

б) $ \frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}} $
В знаменателе вынесем общий множитель $x^{11}$ за скобки:
$ x^{33} + x^{22} + x^{11} = x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1) $.
Числитель $x^{33} - 1$ можно представить как разность кубов, так как $x^{33} = (x^{11})^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - c^3 = (a-c)(a^2 + ac + c^2)$, где $a = x^{11}$ и $c = 1$:
$ x^{33} - 1 = (x^{11})^3 - 1^3 = (x^{11} - 1)((x^{11})^2 + x^{11} \cdot 1 + 1^2) = (x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1) $.
Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{(x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1)}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)} $.
Сократим общий множитель $(x^{22} + x^{11} + 1)$:
$ \frac{x^{11} - 1}{x^{11}} $.
Ответ: $ \frac{x^{11} - 1}{x^{11}} $.

в) $ \frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2} $
Раскроем скобки в числителе:
$ x(y - z) - y(x - z) = xy - xz - (yx - yz) = xy - xz - xy + yz = yz - xz $.
Вынесем общий множитель $z$ за скобки: $ z(y - x) $.
Теперь преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:
$ x(y - z)^2 - y(x - z)^2 = x(y^2 - 2yz + z^2) - y(x^2 - 2xz + z^2) $
$ = xy^2 - 2xyz + xz^2 - yx^2 + 2xyz - yz^2 = xy^2 - yx^2 + xz^2 - yz^2 $.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$ (xy^2 - yx^2) + (xz^2 - yz^2) = xy(y-x) + z^2(x-y) = xy(y-x) - z^2(y-x) = (y-x)(xy - z^2) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{z(y - x)}{(y-x)(xy - z^2)} $.
Сократим общий множитель $(y - x)$:
$ \frac{z}{xy - z^2} $.
Ответ: $ \frac{z}{xy - z^2} $.

г) $ \frac{a(b+1)^2 - b(a+1)^2}{a(b+1) - b(a+1)} $
Сначала упростим знаменатель, раскрыв скобки:
$ a(b+1) - b(a+1) = ab + a - (ba + b) = ab + a - ab - b = a - b $.
Теперь преобразуем числитель. Раскроем скобки:
$ a(b+1)^2 - b(a+1)^2 = a(b^2 + 2b + 1) - b(a^2 + 2a + 1) $
$ = ab^2 + 2ab + a - ba^2 - 2ab - b = ab^2 + a - a^2b - b $.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$ (ab^2 - a^2b) + (a - b) = ab(b - a) + (a - b) = -ab(a - b) + 1(a - b) = (a-b)(1 - ab) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{(a-b)(1 - ab)}{a - b} $.
Сократим общий множитель $(a - b)$:
$ 1 - ab $.
Ответ: $ 1 - ab $.

218. Известно, что $a - b = 9$. Найдите значение дроби:

а) $\frac{36}{(a - b)^2}$;

б) $\frac{108}{(b - a)^2}$;

в) $\frac{(5a - 5b)^2}{45}$;

г) $\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}$.

а)

По условию задачи дано, что $a - b = 9$. Чтобы найти значение дроби $\frac{36}{(a-b)^2}$, подставим известное значение $a - b$ в знаменатель:

$\frac{36}{(a-b)^2} = \frac{36}{9^2} = \frac{36}{81}$

Теперь сократим полученную дробь. И числитель 36, и знаменатель 81 делятся на 9:

$\frac{36 \div 9}{81 \div 9} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

б)

Дано выражение $\frac{108}{(b-a)^2}$. Нам известно, что $a - b = 9$.

Выразим $b-a$ через $a-b$: $b - a = -(a - b) = -9$.

Возведем $b - a$ в квадрат: $(b - a)^2 = (-9)^2 = 81$.

Стоит отметить, что $(b - a)^2 = (a - b)^2$, так как квадраты противоположных чисел равны.

Подставим полученное значение в знаменатель дроби:

$\frac{108}{81}$

Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 108 и 81 равен 27:

$\frac{108 \div 27}{81 \div 27} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

в)

Необходимо найти значение выражения $\frac{(5a-5b)^2}{45}$.

Сначала преобразуем выражение в числителе. Вынесем общий множитель 5 за скобки в выражении $(5a - 5b)$:

$5a - 5b = 5(a - b)$

Теперь возведем в квадрат: $(5(a - b))^2 = 5^2 \cdot (a - b)^2 = 25(a - b)^2$.

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{25(a-b)^2}{45}$

Используем условие $a - b = 9$:

$\frac{25 \cdot 9^2}{45} = \frac{25 \cdot 81}{45}$

Для упрощения вычислений сократим дробь. Сократим 81 и 45 на 9:

$\frac{25 \cdot 9}{5}$

Далее сократим 25 и 5 на 5:

$5 \cdot 9 = 45$

Ответ: 45

г)

Рассмотрим выражение $\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}$.

Знаменатель $a^3 - b^3$ является разностью кубов, которую можно разложить на множители по формуле: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставим это разложение в нашу дробь:

$\frac{a^2+ab+b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2 + ab + b^2)$, который не равен нулю при заданном условии.

После сокращения мы получаем выражение:

$\frac{1}{a-b}$

Подставляем известное значение $a - b = 9$:

$\frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

221. Докажите, что тождественно равно многочлену выражение:

а) $\frac{(y-b)^2}{y-b+1} + \frac{y-b}{y-b+1}$;

б) $\frac{(a+x)^2}{a+x-2} - \frac{2a+2x}{a+x-2}$;

в) $\frac{x^2-y^2}{x-y-1} + \frac{x+y}{y-x+1}$;

г) $\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} + \frac{2(b-3c)}{2-b+3c}$.

Чтобы доказать, что выражение является многочленом, мы упростим его. Исходное выражение: $ \frac{(y-b)^2}{y-b+1} + \frac{y-b}{y-b+1} $.
Так как дроби имеют общий знаменатель $y-b+1$, мы можем сложить их числители:
$ \frac{(y-b)^2 + (y-b)}{y-b+1} $.
В числителе вынесем общий множитель $(y-b)$ за скобки:
$ \frac{(y-b)((y-b)+1)}{y-b+1} = \frac{(y-b)(y-b+1)}{y-b+1} $.
Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(y-b+1)$ (при условии, что $y-b+1 \neq 0$). В результате получаем выражение $y-b$, которое является многочленом.

Ответ: $y-b$.

Упростим выражение $ \frac{(a+x)^2}{a+x-2} - \frac{2a+2x}{a+x-2} $.
Поскольку знаменатели у дробей одинаковые, выполним вычитание числителей:
$ \frac{(a+x)^2 - (2a+2x)}{a+x-2} $.
В выражении $2a+2x$ вынесем общий множитель 2: $2(a+x)$. Тогда числитель примет вид $(a+x)^2 - 2(a+x)$.
Вынесем общий множитель $(a+x)$ в числителе:
$ \frac{(a+x)((a+x)-2)}{a+x-2} = \frac{(a+x)(a+x-2)}{a+x-2} $.
Сократим дробь на $(a+x-2)$ (при $a+x-2 \neq 0$). В результате получаем многочлен $a+x$.

Ответ: $a+x$.

Рассмотрим выражение $ \frac{x^2-y^2}{x-y-1} + \frac{x+y}{y-x+1} $.
Преобразуем знаменатель второй дроби: $y-x+1 = -(x-y-1)$. Это позволяет нам изменить знак перед второй дробью и сделать знаменатели одинаковыми:
$ \frac{x^2-y^2}{x-y-1} - \frac{x+y}{x-y-1} $.
Теперь вычтем числители:
$ \frac{x^2-y^2 - (x+y)}{x-y-1} $.
Разложим $x^2-y^2$ по формуле разности квадратов как $(x-y)(x+y)$:
$ \frac{(x-y)(x+y) - (x+y)}{x-y-1} $.
Вынесем в числителе общий множитель $(x+y)$:
$ \frac{(x+y)((x-y)-1)}{x-y-1} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1} $.
После сокращения на $(x-y-1)$ (при $x-y-1 \neq 0$), мы получаем многочлен $x+y$.

Ответ: $x+y$.

Упростим выражение $ \frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} + \frac{2(b-3c)}{2-b-3c} $.
Знаменатель второй дроби $2-b-3c$ можно представить как $-(b+3c-2)$. Вынесем знак минус перед дробью:
$ \frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} - \frac{2(b-3c)}{b+3c-2} $.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим числители:
$ \frac{b^2-9c^2 - 2(b-3c)}{b+3c-2} $.
Применим формулу разности квадратов к $b^2-9c^2 = (b-3c)(b+3c)$:
$ \frac{(b-3c)(b+3c) - 2(b-3c)}{b+3c-2} $.
Вынесем общий множитель $(b-3c)$ в числителе:
$ \frac{(b-3c)((b+3c)-2)}{b+3c-2} = \frac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2} $.
Сократив дробь на $(b+3c-2)$ (при $b+3c-2 \neq 0$), получим многочлен $b-3c$.

Ответ: $b-3c$.

220. Упростите выражение:

а) $\frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3}$;

б) $\frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8}$;

В) $\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2}$;

Г) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}$.

а) $\frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем вычесть числители, оставив знаменатель без изменений. Важно помнить, что минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю.

$\frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3} = \frac{(x^2 - 2x) - (4x - 9)}{x - 3} = \frac{x^2 - 2x - 4x + 9}{x - 3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=3$.

$\frac{(x - 3)^2}{x - 3}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-3)$, при условии, что $x \neq 3$.

$\frac{(x - 3)^{\cancel{2}}}{\cancel{x - 3}} = x - 3$

Ответ: $x - 3$.

б) $\frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители:

$\frac{y^2 - 10 - 54}{y - 8} = \frac{y^2 - 64}{y - 8}$

Числитель является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=y$ и $b=8$.

$\frac{(y - 8)(y + 8)}{y - 8}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-8)$, при условии, что $y \neq 8$.

$\frac{\cancel{(y - 8)}(y + 8)}{\cancel{y - 8}} = y + 8$

Ответ: $y + 8$.

в) $\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2}$

Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{-(b^2 - a^2)} = \frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{a^2 - b^2}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2}$

При условии, что $a^2 - b^2 \neq 0$ (т.е. $a \neq b$ и $a \neq -b$), выражение равно 1.

Ответ: $1$.

г) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}$

Знаменатели дробей являются противоположными выражениями: $y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2)$.

Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{-(x^2 - y^2)} = \frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} + \frac{2y - y^2}{x^2 - y^2}$

Теперь сложим числители:

$\frac{(x^2 - 2x) + (2y - y^2)}{x^2 - y^2} = \frac{x^2 - 2x + 2y - y^2}{x^2 - y^2}$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы разложить его на множители:

$\frac{(x^2 - y^2) + (-2x + 2y)}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)(x+y) - 2(x-y)}{x^2 - y^2}$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ в числителе:

$\frac{(x-y)(x+y-2)}{x^2 - y^2}$

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{(x-y)(x+y-2)}{(x-y)(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$, при условии, что $x \neq y$.

$\frac{\cancel{(x-y)}(x+y-2)}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{x+y-2}{x+y}$

Ответ: $\frac{x+y-2}{x+y}$.

222. Докажите, что если правильная обыкновенная дробь $ \frac{a}{b} $ несо- кратима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несо- кратима.

Пусть дана правильная несократимая обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$. Согласно условию задачи, это означает, что:

1. $a$ и $b$ — натуральные числа.
2. Дробь правильная, следовательно, числитель меньше знаменателя: $a < b$.
3. Дробь несократима, это значит, что наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя равен 1: $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Теперь найдем дробь, которая дополняет исходную дробь $\frac{a}{b}$ до единицы. Для этого необходимо вычесть $\frac{a}{b}$ из 1: $1 - \frac{a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$

Нам требуется доказать, что полученная дробь $\frac{b-a}{b}$ также является несократимой. Дробь считается несократимой, если наибольший общий делитель её числителя и знаменателя равен 1. Таким образом, нам нужно доказать, что $\text{НОД}(b-a, b) = 1$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что дробь $\frac{b-a}{b}$ является сократимой. Это означает, что её числитель $b-a$ и знаменатель $b$ имеют общий делитель $d$, который больше 1, то есть $d > 1$.

Если $d$ — общий делитель чисел $b$ и $b-a$, то оба эти числа делятся на $d$ без остатка. Известно, что если два числа делятся на некоторое число, то и их разность также делится на это число. Найдем разность наших чисел: $b - (b-a) = b - b + a = a$

Следовательно, число $a$ также делится на $d$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что число $d$ является общим делителем для чисел $a$ и $b$. Но мы предположили, что $d > 1$. Это означает, что наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ должен быть не меньше $d$, то есть $\text{НОД}(a, b) \ge d > 1$.

Это утверждение противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что дробь $\frac{a}{b}$ несократима, а значит, $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Поскольку наше предположение о том, что дробь $\frac{b-a}{b}$ сократима, привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, дробь $\frac{b-a}{b}$ несократима.

Ответ: Что и требовалось доказать. Если правильная обыкновенная дробь несократима, то и дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.