Номер 219, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 219, страница 54.

219. Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$, то $a = b = c$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся исходным равенством пропорций.

По условию нам дано: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$.

Прежде всего, следует отметить, что для того, чтобы данные дроби имели смысл, их знаменатели не должны равняться нулю. Это означает, что $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

Обозначим общее значение этих трех равных дробей некоторой константой $k$:

$k = \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$

Теперь мы можем перемножить все три дроби. С одной стороны, их произведение равно $k \cdot k \cdot k = k^3$. С другой стороны, произведение равно:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c \cdot a}$

Сократив числитель и знаменатель, получаем:

$\frac{abc}{abc} = 1$

Приравнивая два выражения для произведения, получаем уравнение относительно $k$:

$k^3 = 1$

Если мы рассматриваем переменные $a, b, c$ как вещественные числа (что является стандартным предположением в таких задачах), то единственным вещественным решением уравнения $k^3=1$ является $k=1$.

Зная, что $k=1$, вернемся к исходным равенствам:

Из $\frac{a}{b} = k$ следует, что $\frac{a}{b} = 1$, откуда $a=b$.

Из $\frac{b}{c} = k$ следует, что $\frac{b}{c} = 1$, откуда $b=c$.

Таким образом, мы получили, что $a=b$ и $b=c$. Из этого логически следует, что все три числа равны между собой: $a = b = c$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$ и $a, b, c$ являются вещественными числами, то из этого следует, что $a=b=c$.