Номер 217, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 217, страница 54.

217. Докажите, что если в дроби $\frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy}$ переменные $x$ и $y$ заменить соответственно на $kx$ и $ky$, где $k \neq 0$, то получится дробь, тождественно равная первоначальной.

Для доказательства утверждения выполним указанную замену переменных в дроби и упростим полученное выражение.

Исходная дробь имеет вид:$ \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $.

Согласно условию, заменим в ней переменные $x$ на $kx$ и $y$ на $ky$, где $k \ne 0$. Получим новое выражение:$$ \frac{(kx)^2 - 2(ky)^2}{3(ky)^2 + 5(kx)(ky)} $$

Теперь раскроем скобки в числителе и знаменателе полученной дроби:$$ \frac{k^2x^2 - 2k^2y^2}{3k^2y^2 + 5k^2xy} $$

В числителе и знаменателе есть общий множитель $k^2$, который можно вынести за скобки:$$ \frac{k^2(x^2 - 2y^2)}{k^2(3y^2 + 5xy)} $$

Поскольку по условию задачи $k \ne 0$, следовательно, $k^2 \ne 0$. Значит, мы можем сократить дробь на $k^2$:$$ \frac{\cancel{k^2}(x^2 - 2y^2)}{\cancel{k^2}(3y^2 + 5xy)} = \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $$

В результате выполненных преобразований мы получили дробь, которая в точности совпадает с первоначальной. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: После подстановки $x=kx$ и $y=ky$ в исходную дробь и последующих упрощений, выражение принимает вид $\frac{k^2(x^2 - 2y^2)}{k^2(3y^2 + 5xy)}$. Так как $k \ne 0$, этот множитель можно сократить, в результате чего получается дробь $\frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy}$, тождественно равная первоначальной.