Номер 210, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 210, страница 53.

210. Найдите допустимые значения переменной в выражении

а) $ \frac{3x - 8}{25} $

б) $ \frac{37}{2y + 7} $

в) $ \frac{9}{x^2 - 7x} $

г) $ \frac{2y + 5}{y^2 + 8} $

д) $ \frac{12}{|x| - 3} $

е) $ \frac{45}{|y| + 2} $

а) Допустимые значения переменной (или область определения) для выражения — это все те значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дробей это означает, что знаменатель не должен быть равен нулю. В выражении $\frac{3x-8}{25}$ знаменатель равен 25, что является константой и не равно нулю. Следовательно, выражение определено при любых значениях переменной $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

б) В выражении $\frac{37}{2y+7}$ знаменатель $2y+7$ не должен равняться нулю. Найдем значения $y$, которые обращают знаменатель в ноль, и исключим их.
$2y+7=0$
$2y = -7$
$y = -\frac{7}{2}$
$y = -3.5$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $y = -3.5$.
Ответ: все числа, кроме $y = -3.5$.

в) В выражении $\frac{9}{x^2-7x}$ знаменатель $x^2-7x$ не должен равняться нулю. Решим уравнение, чтобы найти недопустимые значения $x$.
$x^2-7x=0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-7)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x=0$ или $x-7=0 \implies x=7$.
Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме 0 и 7.
Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = 7$.

г) В выражении $\frac{2y+5}{y^2+8}$ знаменатель равен $y^2+8$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($y^2 \ge 0$), то выражение $y^2+8$ всегда будет больше или равно 8 ($y^2+8 \ge 8$). Значит, знаменатель никогда не может быть равен нулю.
Следовательно, выражение определено при любых значениях переменной $y$.
Ответ: $y$ - любое число.

д) В выражении $\frac{12}{|x|-3}$ знаменатель $|x|-3$ не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, которые нужно исключить.
$|x|-3=0$
$|x|=3$
Это уравнение верно для двух значений $x$: $x=3$ и $x=-3$.
Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме 3 и -3.
Ответ: все числа, кроме $x = 3$ и $x = -3$.

е) В выражении $\frac{45}{|y|+2}$ знаменатель равен $|y|+2$. Модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной ($|y| \ge 0$). Поэтому выражение $|y|+2$ всегда будет больше или равно 2 ($|y|+2 \ge 2$). Знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, выражение определено при любых значениях переменной $y$.
Ответ: $y$ - любое число.