Номер 211, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 211, страница 53.

211. Составьте какую-либо дробь с переменной $x$, которая имеет смысл при всех значениях переменной, кроме:

а) $x = 2;$

б) $x = 0$ и $x = 3;$

в) $x = -3$ и $x = 3;$

г) $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}.$

Основное условие существования дроби — её знаменатель не должен быть равен нулю. Чтобы составить дробь, которая не имеет смысла (не определена) при определённых значениях переменной $x$, нужно создать знаменатель, который обращается в ноль именно при этих значениях. Числитель при этом может быть любым числом, отличным от нуля (например, 1), или выражением, которое не обращается в ноль одновременно со знаменателем.

Общий принцип: если требуется, чтобы дробь была не определена при $x=a$, её знаменатель должен содержать множитель $(x-a)$.

а)

Дробь должна быть не определена при $x = 2$. Это означает, что знаменатель дроби должен становиться нулём при $x=2$. Простейшее выражение, удовлетворяющее этому условию, — это $x-2$. Выбрав в качестве числителя 1, получаем искомую дробь.

Ответ: $\frac{1}{x-2}$

б)

Дробь должна быть не определена при $x = 0$ и $x = 3$. Следовательно, знаменатель должен обращаться в ноль при обоих этих значениях. Это означает, что в знаменателе должны быть множители $(x-0)$, то есть $x$, и $(x-3)$. В качестве знаменателя возьмём их произведение: $x(x-3) = x^2-3x$.

Ответ: $\frac{1}{x(x-3)}$

в)

Дробь должна быть не определена при $x = -3$ и $x = 3$. Знаменатель должен быть равен нулю при этих значениях. Значит, он должен содержать множители $(x - (-3))$, то есть $(x+3)$, и $(x-3)$. Их произведение, согласно формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, равно $(x+3)(x-3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Ответ: $\frac{1}{x^2-9}$

г)

Дробь должна быть не определена при $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$. Знаменатель должен быть равен нулю при этих значениях. Соответствующие множители: $(x-(-\frac{1}{2})) = (x+\frac{1}{2})$ и $(x-\frac{1}{2})$. Их произведение равно $(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2}) = x^2 - (\frac{1}{2})^2 = x^2 - \frac{1}{4}$. Чтобы получить знаменатель без дробей, можно домножить полученное выражение на 4, что не изменит его корней: $4(x^2 - \frac{1}{4}) = 4x^2 - 1$.

Ответ: $\frac{1}{4x^2-1}$