Номер 207, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 207, страница 53.

207. Зная, что $\frac{a+2b}{a}=11$, найдите значение дроби $\frac{(a-3b)^2}{b^2}$.

Для решения этой задачи необходимо сначала упростить данное равенство, чтобы выразить одну переменную через другую или найти их отношение, а затем подставить это отношение в искомую дробь.

1. Преобразуем исходное равенство $\frac{a+2b}{a}=11$.

Поскольку переменная $a$ находится в знаменателе, $a \neq 0$. Мы можем разделить числитель на знаменатель почленно:

$\frac{a}{a} + \frac{2b}{a} = 11$

$1 + \frac{2b}{a} = 11$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{2b}{a} = 10$

Разделим обе части на 2, чтобы найти отношение $\frac{b}{a}$:

$\frac{b}{a} = 5$

Нам понадобится обратное отношение, $\frac{a}{b}$. Если $\frac{b}{a} = 5$, то $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$. Из этого также следует, что $b \neq 0$.

2. Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти: $\frac{(a-3b)^2}{b^2}$.

Используя свойство степени, можно записать это выражение как квадрат дроби:

$\left(\frac{a-3b}{b}\right)^2$

Теперь разделим числитель дроби в скобках на ее знаменатель почленно:

$\left(\frac{a}{b} - \frac{3b}{b}\right)^2 = \left(\frac{a}{b} - 3\right)^2$

3. Подставим найденное значение отношения $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$ в полученное выражение:

$\left(\frac{1}{5} - 3\right)^2$

Выполним вычитание в скобках, приведя 3 к знаменателю 5:

$\left(\frac{1}{5} - \frac{15}{5}\right)^2 = \left(-\frac{14}{5}\right)^2$

Возведем полученную дробь в квадрат:

$\left(-\frac{14}{5}\right)^2 = \frac{(-14)^2}{5^2} = \frac{196}{25}$

Ответ: $\frac{196}{25}$