Номер 200, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 200, страница 52.

200. Выясните, при каких целых $a$ дробь $\frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2}$ принимает целые значения, и найдите эти значения.

Для того чтобы дробь $\frac{a^2-4a+1}{a-2}$ принимала целые значения при целых значениях $a$, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Преобразуем данную дробь, выделив целую часть. Для этого можно выполнить деление многочлена на многочлен "уголком" или преобразовать числитель.

Выполним преобразование числителя, выделив в нем выражение $(a-2)^2$:

$a^2-4a+1 = (a^2-4a+4) - 4 + 1 = (a-2)^2 - 3$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(a-2)^2 - 3}{a-2} = \frac{(a-2)^2}{a-2} - \frac{3}{a-2} = a-2 - \frac{3}{a-2}$

По условию, $a$ — целое число. Следовательно, выражение $a-2$ также является целым числом. Для того чтобы все выражение $a-2 - \frac{3}{a-2}$ было целым, необходимо, чтобы дробная часть $\frac{3}{a-2}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $a-2$ является делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа: $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1) $a-2=1 \implies a=3$.
Значение дроби: $3-2 - \frac{3}{1} = 1 - 3 = -2$.

2) $a-2=-1 \implies a=1$.
Значение дроби: $1-2 - \frac{3}{-1} = -1 + 3 = 2$.

3) $a-2=3 \implies a=5$.
Значение дроби: $5-2 - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2$.

4) $a-2=-3 \implies a=-1$.
Значение дроби: $-1-2 - \frac{3}{-3} = -3 + 1 = -2$.

Таким образом, мы нашли все целые значения $a$, при которых дробь принимает целые значения, и нашли сами эти значения.

Ответ: при $a \in \{-1, 1, 3, 5\}$ дробь принимает целые значения, которые равны $-2$ и $2$.