Номер 199, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 199, страница 52.

199. Представьте дробь $\frac{4x+3}{x^2-1}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $x - 1$ и $x + 1$.

Чтобы представить дробь $\frac{4x + 3}{x^2 - 1}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $x - 1$ и $x + 1$, мы будем использовать метод разложения на простейшие дроби.

1. Разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $x^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

2. Запишем искомое разложение.

Мы ищем представление в виде:

$\frac{4x + 3}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

Здесь $A$ и $B$ — это неизвестные коэффициенты, которые нам нужно найти.

3. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители.

Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1)$:

$\frac{A(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{B(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A(x + 1) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$

Так как исходная дробь равна получившейся, и их знаменатели одинаковы, то должны быть равны и их числители:

$4x + 3 = A(x + 1) + B(x - 1)$

4. Найдем коэффициенты A и B.

Это равенство должно быть верным для любого значения $x$. Чтобы найти коэффициенты, можно подставить в равенство "удобные" значения $x$, которые обращают в ноль один из множителей.

• Пусть $x = 1$. Тогда скобка $(x - 1)$ обнулится:

  $4(1) + 3 = A(1 + 1) + B(1 - 1)$

  $7 = A \cdot 2 + B \cdot 0$

  $7 = 2A$

  $A = \frac{7}{2}$

• Пусть $x = -1$. Тогда скобка $(x + 1)$ обнулится:

  $4(-1) + 3 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1)$

  $-1 = A \cdot 0 + B \cdot (-2)$

  $-1 = -2B$

  $B = \frac{1}{2}$

5. Запишем конечный результат.

Мы нашли значения коэффициентов: $A = \frac{7}{2}$ и $B = \frac{1}{2}$. Подставляем их в наше разложение:

$\frac{4x + 3}{x^2 - 1} = \frac{7/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1}$

Это выражение можно также записать в более удобном виде:

$\frac{7}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)}$

Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы двух дробей с требуемыми знаменателями.

Ответ: $\frac{7}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)}$