Номер 198, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 198, страница 52.

198. Представьте дробь $\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $x+4$ и $x-2$.

Для того чтобы представить данную дробь в виде суммы двух дробей с указанными знаменателями, необходимо найти такие числа $A$ и $B$, чтобы выполнялось тождество:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-2}$

Для нахождения неизвестных коэффициентов $A$ и $B$ приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x+4)(x-2)$:

$\frac{A(x-2) + B(x+4)}{(x+4)(x-2)} = \frac{Ax - 2A + Bx + 4B}{(x+4)(x-2)} = \frac{(A+B)x + (4B-2A)}{(x+4)(x-2)}$

Теперь мы можем приравнять числители исходной и полученной дробей, так как их знаменатели равны:

$5x - 1 = (A+B)x + (4B-2A)$

Данное равенство должно быть верным для любых значений $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях равны. Приравнивая коэффициенты, получаем систему из двух линейных уравнений:

$A+B=5$ (коэффициенты при $x$)
$4B-2A=-1$ (свободные члены)

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $A$:

$A = 5 - B$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4B - 2(5 - B) = -1$

$4B - 10 + 2B = -1$

$6B = 9$

$B = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем $A$:

$A = 5 - B = 5 - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Таким образом, мы нашли искомые коэффициенты: $A = \frac{7}{2}$ и $B = \frac{3}{2}$.

Подставляем найденные значения в первоначальное разложение:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{7/2}{x+4} + \frac{3/2}{x-2}$

Это выражение можно записать в виде:

$\frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$

Ответ: $\frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$