Номер 2, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 2, страница 49.

2. Сформулируйте правило возведения дроби в степень.

Правило возведения дроби в степень является одним из основных свойств степеней. Оно заключается в следующем: чтобы возвести дробь в некоторую степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби по отдельности.

Это правило можно выразить с помощью формулы. Пусть у нас есть дробь $ \frac{a}{b} $ (где знаменатель $ b \neq 0 $) и мы хотим возвести её в натуральную степень $n$. Тогда:

$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $

Это правило легко доказывается, исходя из определения степени как многократного умножения. Возведение дроби в степень $n$ означает, что мы умножаем эту дробь саму на себя $n$ раз:

$ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ множителей}} $

По правилу умножения дробей, мы должны перемножить все числители и перемножить все знаменатели:

$ \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ множителей}}} = \frac{a^n}{b^n} $

Пример:

Возведем дробь $ \frac{3}{4} $ в квадрат (во вторую степень).

$ (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $

Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель, а затем первый результат записать как числитель новой дроби, а второй — как её знаменатель.