Номер 195, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция y=k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 195, страница 49.

195. (Задача-исследование.) При каких значениях a и b является тождеством равенство $ \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} $?

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

Чтобы данное равенство было тождеством, оно должно выполняться для всех допустимых значений переменной $x$. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного равенства: $x \ne 5$ и $x \ne -2$.

Для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$ необходимо выполнить следующие преобразования:

1. Привести дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x-5)(x+2)$.
2. После приведения к общему знаменателю правая часть примет вид дроби, знаменатель которой совпадает со знаменателем левой части.
3. Воспользоваться условием равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями: если дроби равны, то их числители также должны быть равны для всех $x$ из ОДЗ.
4. Приравнять числители левой и правой частей. В результате получится равенство двух многочленов.
5. Воспользоваться условием тождественного равенства двух многочленов: два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
6. Приравняв коэффициенты при $x$ и свободные члены, мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$, решив которую, найдем искомые значения.

Ответ: Необходимо привести правую часть к общему знаменателю, приравнять числители получившихся дробей и, используя условие равенства многочленов, составить и решить систему уравнений относительно $a$ и $b$.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

Исходное тождество:

$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $(x - 5)(x + 2)$:

$\frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2} = \frac{a(x + 2)}{(x - 5)(x + 2)} + \frac{b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a(x + 2) + b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)}$

Теперь приравняем числители левой и правой частей:

$5x + 31 = a(x + 2) + b(x - 5)$

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

$5x + 31 = ax + 2a + bx - 5b$

$5x + 31 = (a + b)x + (2a - 5b)$

Для того чтобы это равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях должны быть равны. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 5 & \text{(коэффициенты при } x\text{)} \\ 2a - 5b = 31 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 5 - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(5 - b) - 5b = 31$

$10 - 2b - 5b = 31$

$10 - 7b = 31$

$-7b = 31 - 10$

$-7b = 21$

$b = -3$

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 5 - b$:

$a = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$

Ответ: В результате преобразований получена система уравнений $\begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - 5b = 31 \end{cases}$. Ее решение: $a = 8$, $b = -3$.

3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

Данное равенство является тождеством при значениях $a = 8$ и $b = -3$.

Выполним проверку. Подставим найденные значения $a$ и $b$ в правую часть исходного равенства и упростим ее:

$\frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2} = \frac{8}{x - 5} + \frac{-3}{x + 2} = \frac{8}{x - 5} - \frac{3}{x + 2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{8(x + 2) - 3(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{8x + 16 - 3x + 15}{(x - 5)(x + 2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(8x - 3x) + (16 + 15)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)}$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, найденные значения $a$ и $b$ верны.

Ответ: Равенство является тождеством при $a = 8$ и $b = -3$. Проверка подтвердила правильность найденных значений.