Номер 188, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция y=k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 188, страница 47.

188. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:

а) $\frac{k}{x} = x^2$, где $k > 0$; в) $\frac{k}{x} = x^3$, где $k > 0$;

б) $\frac{k}{x} = x^2$, где $k < 0$; г) $\frac{k}{x} = x^3$, где $k < 0$.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций $y = \frac{k}{x}$.

3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

Для определения количества решений уравнения необходимо представить его в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Количество решений исходного уравнения будет равно количеству точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. В нашем случае это функции $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^2$ или $y = x^3$.

а) $\frac{k}{x} = x^2$, где $k > 0$

Рассмотрим графики двух функций: $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^2$.
1. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
2. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График расположен в I и II координатных четвертях.
Анализируя расположение графиков, видим, что они могут пересечься только в I четверти, где определены обе функции. В этой четверти ветвь параболы $y = x^2$ возрастает от $(0,0)$ до $+\infty$, а ветвь гиперболы $y = \frac{k}{x}$ убывает от $+\infty$ до $0$. Таким образом, графики обязательно пересекутся в одной точке.
Следовательно, уравнение имеет одно решение.
Алгебраическая проверка: Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии $x \neq 0$): $k = x^3$. Отсюда $x = \sqrt[3]{k}$. Поскольку $k > 0$, существует ровно один действительный корень, и он положителен.
Ответ: 1 решение.

б) $\frac{k}{x} = x^2$, где $k < 0$

Рассмотрим графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^2$.
1. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.
2. График функции $y = x^2$ — парабола, расположенная в I и II координатных четвертях.
Общая область для графиков — II координатная четверть. В этой четверти ветвь параболы $y = x^2$ убывает от $+\infty$ до $0$ (при изменении $x$ от $-\infty$ до $0$), а ветвь гиперболы $y = \frac{k}{x}$ возрастает от $0$ до $+\infty$. Таким образом, графики обязательно пересекутся в одной точке во II четверти.
Следовательно, уравнение имеет одно решение.
Алгебраическая проверка: $k = x^3$, откуда $x = \sqrt[3]{k}$. Поскольку $k < 0$, существует ровно один действительный корень, и он отрицателен.
Ответ: 1 решение.

в) $\frac{k}{x} = x^3$, где $k > 0$

Рассмотрим графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^3$.
1. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ — гипербола, расположенная в I и III четвертях.
2. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, также расположенная в I и III четвертях.
В I четверти оба графика существуют. Ветвь кубической параболы возрастает от $(0,0)$ до $+\infty$, а ветвь гиперболы убывает от $+\infty$ до $0$. Они пересекаются в одной точке.
В III четверти оба графика также существуют. Ветвь кубической параболы возрастает от $-\infty$ до $(0,0)$, а ветвь гиперболы возрастает от $-\infty$ до $0$. Они также пересекаются в одной точке.
Таким образом, графики имеют две точки пересечения.
Алгебраическая проверка: $k = x^4$. Поскольку $k > 0$, это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[4]{k}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{k}$.
Ответ: 2 решения.

г) $\frac{k}{x} = x^3$, где $k < 0$

Рассмотрим графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^3$.
1. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях.
2. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях.
Графики этих функций расположены в разных координатных четвертях и не имеют общих областей, кроме осей координат (которые они не пересекают, за исключением $y=x^3$ в начале координат, где $y=k/x$ не определена). Следовательно, у них нет точек пересечения.
Уравнение не имеет решений.
Алгебраическая проверка: $k = x^4$. Поскольку $k < 0$, а выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \geq 0$) для любого действительного $x$, это уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: нет решений.