Номер 186, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция y=k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 186, страница 47.

186. Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$, и, используя его, решите уравнение:

a) $\frac{6}{x}=x$;

б) $\frac{6}{x}=-x+6$.

Для решения уравнений графическим методом сначала построим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=6 > 0$. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для построения графика. Возьмем несколько точек для каждой ветви: для $x>0$ можно взять точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), а для $x<0$ — точки (-1; -6), (-2; -3), (-3; -2), (-6; -1).

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавными линиями, получим график гиперболы $y = \frac{6}{x}$. Теперь используем этот график для решения уравнений.

а) Чтобы решить уравнение $\frac{6}{x} = x$, необходимо в той же системе координат построить график функции $y=x$. Это прямая, проходящая через начало координат (биссектриса I и III координатных четвертей).

Из графика видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. По графику можно определить их приблизительные значения: $x_1 \approx -2.4$ и $x_2 \approx 2.4$. Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически:

$\frac{6}{x} = x$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$

Точные значения корней ($\sqrt{6} \approx 2.45$) подтверждают графическую оценку.
Ответ: $x_1 = -\sqrt{6}, x_2 = \sqrt{6}$.

б) Для решения уравнения $\frac{6}{x} = -x + 6$ в той же системе координат построим график функции $y = -x + 6$. Это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: при $x=0$, $y=6$ (точка (0; 6)) и при $x=6$, $y=0$ (точка (6; 0)).

Соединив эти точки, получим прямую. Из графика видно, что прямая $y=-x+6$ пересекает гиперболу $y=\frac{6}{x}$ в двух точках в первой четверти. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. По графику можно определить их приблизительные значения: $x_1 \approx 1.3$ и $x_2 \approx 4.7$. Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически.

$\frac{6}{x} = -x + 6$
$6 = -x^2 + 6x$
$x^2 - 6x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$.

Точные значения корней ($3 - \sqrt{3} \approx 1.27$ и $3 + \sqrt{3} \approx 4.73$) подтверждают нашу графическую оценку.
Ответ: $x_1 = 3 - \sqrt{3}, x_2 = 3 + \sqrt{3}$.