Страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

185. Постройте график функции, заданной формулой $y = \frac{-8}{x}$.

Найдите по графику:

а) значение y, соответствующее значению x, равному 4; 2,5; 1,5; -1; -2,5;

б) значение x, которому соответствует значение y, равное 8; -2.

Для построения графика функции $y = \frac{-8}{x}$ составим таблицу значений. Данная функция является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Поскольку коэффициент $k = -8 < 0$, ветви гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

Построив график по этим точкам, найдем требуемые значения.

а) значение y, соответствующее значению x, равному 4; 2,5; 1,5; -1; -2,5;

Чтобы найти значение $y$ по графику, нужно найти на оси абсцисс (оси $Ox$) заданное значение $x$, провести перпендикуляр до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат (оси $Oy$). Полученное значение на оси $Oy$ и будет искомым значением $y$.

• При $x = 4$, находим на графике точку с абсциссой 4. Ордината этой точки равна -2. Проверим вычислением: $y = \frac{-8}{4} = -2$.
• При $x = 2,5$, находим на графике точку с абсциссой 2,5. Ордината этой точки приблизительно равна -3,2. Проверим вычислением: $y = \frac{-8}{2,5} = \frac{-80}{25} = \frac{-16}{5} = -3,2$.
• При $x = 1,5$, находим на графике точку с абсциссой 1,5. Ордината этой точки приблизительно равна -5,3. Проверим вычислением: $y = \frac{-8}{1,5} = \frac{-8}{3/2} = -\frac{16}{3} \approx -5,33$.
• При $x = -1$, находим на графике точку с абсциссой -1. Ордината этой точки равна 8. Проверим вычислением: $y = \frac{-8}{-1} = 8$.
• При $x = -2,5$, находим на графике точку с абсциссой -2,5. Ордината этой точки приблизительно равна 3,2. Проверим вычислением: $y = \frac{-8}{-2,5} = \frac{-80}{-25} = \frac{16}{5} = 3,2$.

Ответ: при $x=4, y=-2$; при $x=2,5, y=-3,2$; при $x=1,5, y \approx -5,33$; при $x=-1, y=8$; при $x=-2,5, y=3,2$.

б) значение x, которому соответствует значение y, равное 8; -2.

Чтобы найти значение $x$ по графику, нужно найти на оси ординат (оси $Oy$) заданное значение $y$, провести перпендикуляр до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести перпендикуляр к оси абсцисс (оси $Ox$). Полученное значение на оси $Ox$ и будет искомым значением $x$.

• При $y = 8$, находим на графике точку с ординатой 8. Абсцисса этой точки равна -1. Проверим вычислением: $8 = \frac{-8}{x} \implies 8x = -8 \implies x = -1$.
• При $y = -2$, находим на графике точку с ординатой -2. Абсцисса этой точки равна 4. Проверим вычислением: $-2 = \frac{-8}{x} \implies -2x = -8 \implies x = 4$.

Ответ: при $y=8, x=-1$; при $y=-2, x=4$.

187. Решите графически уравнение:

а) $\frac{8}{x} = x^2$;

б) $\frac{8}{x} = x^3$.

а)

Для того чтобы решить уравнение $\frac{8}{x} = x^2$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \frac{8}{x}$ и $y_2 = x^2$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки их пересечения.

1. Построим график функции $y_1 = \frac{8}{x}$. Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Поскольку коэффициент $8$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.

2. Построим график функции $y_2 = x^2$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. График расположен в I и II координатных четвертях.

3. Найдем точку пересечения графиков. Так как парабола ($y=x^2$) находится в I и II четвертях, а гипербола ($y=8/x$) — в I и III, их пересечение возможно только в I четверти, где $x>0$.

Для нахождения точки пересечения можно составить таблицу значений для обеих функций:
Для $y_1 = \frac{8}{x}$:

• при $x=1, y=8$
• при $x=2, y=4$
• при $x=4, y=2$

Для $y_2 = x^2$:

• при $x=1, y=1$
• при $x=2, y=4$
• при $x=3, y=9$

Из таблиц видно, что при $x=2$ значения обеих функций совпадают и равны 4. Таким образом, графики пересекаются в точке $(2, 4)$. Абсцисса этой точки и является решением уравнения.

Алгебраическая проверка: $\frac{8}{2} = 4$ и $2^2 = 4$. Равенство $4=4$ верное.

Ответ: $x=2$.

б)

Для графического решения уравнения $\frac{8}{x} = x^3$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \frac{8}{x}$ и $y_2 = x^3$. Решением уравнения будут абсциссы точек их пересечения.

1. График функции $y_1 = \frac{8}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат и расположенная также в I и III координатных четвертях.

3. Найдем точки пересечения. Поскольку оба графика расположены в I и III четвертях, они могут пересекаться в обеих этих четвертях. Заметим, что обе функции нечётные ($f(-x) = -f(x)$), поэтому их графики симметричны относительно начала координат. Это означает, что если $(x_0, y_0)$ является точкой пересечения, то и $(-x_0, -y_0)$ также будет точкой пересечения.

Построим графики и найдем точку пересечения в I четверти.
При $x=1$: $y_1 = \frac{8}{1} = 8$, а $y_2 = 1^3 = 1$. График гиперболы выше.
При $x=2$: $y_1 = \frac{8}{2} = 4$, а $y_2 = 2^3 = 8$. График кубической параболы выше.
Поскольку на отрезке $[1, 2]$ непрерывные графики поменялись взаимным расположением, точка пересечения находится между $x=1$ и $x=2$.

Графический метод дает приблизительное значение. Для нахождения точного значения решим уравнение алгебраически (при условии $x \neq 0$):
$\frac{8}{x} = x^3$
$8 = x \cdot x^3$
$x^4 = 8$
Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[4]{8}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{8}$.

Графический анализ подтверждает наличие двух корней: одного положительного ($x \approx 1.68$) и одного отрицательного ($x \approx -1.68$), симметричных относительно нуля.

Ответ: $x_1 = \sqrt[4]{8}, x_2 = -\sqrt[4]{8}$.

189. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания $a$ см и $b$ см и высотой $20$ см имеет объём, равный $120$ см$^3$. Выразите формулой зависимость $b$ от $a$. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.

Выразите формулой зависимость b от a. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ и $b$ – стороны основания, а $h$ – высота. Согласно условию, объем $V = 120$ см³, а высота $h = 20$ см. Подставим эти данные в формулу:
$120 = a \cdot b \cdot 20$
Для того чтобы выразить зависимость $b$ от $a$, решим уравнение относительно $b$. Разделим обе части на 20:
$a \cdot b = \frac{120}{20}$
$a \cdot b = 6$
Теперь разделим на $a$ (поскольку $a$ - это длина, $a \neq 0$):
$b = \frac{6}{a}$
Ответ: $b = \frac{6}{a}$.

Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Обратная пропорциональность — это зависимость между двумя переменными, которую можно записать в виде $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. Полученная нами формула $b = \frac{6}{a}$ в точности соответствует этому виду. Здесь $y$ — это $b$, $x$ — это $a$, а коэффициент пропорциональности $k = 6$. Это означает, что при увеличении стороны $a$ в несколько раз, сторона $b$ уменьшится во столько же раз, чтобы их произведение оставалось постоянным и равным 6.
Ответ: Да, эта зависимость является обратной пропорциональностью.

Какова область определения этой функции? Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента, в данном случае переменной $a$. С математической точки зрения, в выражении $b = \frac{6}{a}$ знаменатель не может быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. Однако, поскольку $a$ представляет собой длину стороны физического объекта (параллелепипеда), она должна быть положительным числом. Отрицательная длина или длина, равная нулю, не имеет смысла в контексте геометрии. Следовательно, $a > 0$.
Ответ: Область определения функции в данной задаче: $a > 0$, что в виде интервала записывается как $(0; +\infty)$.

Постройте график. Графиком функции $b = \frac{6}{a}$ является гипербола. Так как из области определения мы знаем, что $a > 0$, то и значения $b$ ($b = 6/a$) также будут положительными. Таким образом, график будет расположен в первой координатной четверти. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, удовлетворяющих уравнению: если $a=1$, то $b=6$; если $a=2$, то $b=3$; если $a=3$, то $b=2$; если $a=6$, то $b=1$. Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $b = 6/a$ при $a>0$ представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти (см. график выше).

184. На рисунке 6 построен график функции, заданной формулой $y = \frac{8}{x}$. Найдите по графику:

a) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному 2; 4; –1; –4; –5;

б) значение $x$, которому соответствует значение $y$, равное –4; –2; 8.

Рис. 6

а) значение y, соответствующее значению x, равному 2; 4; –1; –4; –5;

Для нахождения значения y по графику для заданного значения x, необходимо найти на горизонтальной оси (оси абсцисс) заданное значение x, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси ординат). Точка пересечения с осью ординат и будет искомым значением y.

• При $x = 2$: находим на оси x значение 2, поднимаемся до графика и движемся к оси y. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 4$.
• При $x = 4$: соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 2$.
• При $x = -1$: соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -8$.
• При $x = -4$: соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -2$.
• При $x = -5$: находим на оси x значение -5. Соответствующая точка на графике имеет ординату между -1 и -2. Для точного значения воспользуемся формулой: $y = \frac{8}{-5} = -1.6$.

Ответ: при $x=2$, $y=4$; при $x=4$, $y=2$; при $x=-1$, $y=-8$; при $x=-4$, $y=-2$; при $x=-5$, $y=-1.6$.

б) значение x, которому соответствует значение y, равное –4; –2; 8.

Для нахождения значения x по графику для заданного значения y, необходимо найти на вертикальной оси (оси ординат) заданное значение y, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения провести вертикальную линию до горизонтальной оси (оси абсцисс). Точка пересечения с осью абсцисс и будет искомым значением x.

• При $y = -4$: соответствующая точка на графике имеет абсциссу $x = -2$.
• При $y = -2$: соответствующая точка на графике имеет абсциссу $x = -4$.
• При $y = 8$: соответствующая точка на графике имеет абсциссу $x = 1$.

Ответ: при $y=-4$, $x=-2$; при $y=-2$, $x=-4$; при $y=8$, $x=1$.

Сначала построим график функции $y = -\frac{8}{x}$. Эта функция является обратной пропорциональностью, и её график — гипербола. Поскольку коэффициент $k = -8$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.Для построения графика составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, мы получим график гиперболы. Теперь, используя построенный график (и формулу для точности), найдём требуемые значения.

а) значение y, соответствующее значению x, равному 4; 2,5; 1,5; –1; –2,5;

Находим значения y по графику или вычисляем по формуле $y = -\frac{8}{x}$:

• Если $x = 4$, по графику находим $y=-2$. Проверка: $y = -\frac{8}{4} = -2$.
• Если $x = 2.5$, по графику значение y находится между -3 и -4. Вычисление дает: $y = -\frac{8}{2.5} = -3.2$.
• Если $x = 1.5$, по графику значение y близко к -5.3. Вычисление дает: $y = -\frac{8}{1.5} = -\frac{16}{3} \approx -5.33$.
• Если $x = -1$, по графику находим $y=8$. Проверка: $y = -\frac{8}{-1} = 8$.
• Если $x = -2.5$, по графику значение y находится между 3 и 4. Вычисление дает: $y = -\frac{8}{-2.5} = 3.2$.

Ответ: при $x=4$, $y=-2$; при $x=2.5$, $y=-3.2$; при $x=1.5$, $y \approx -5.33$; при $x=-1$, $y=8$; при $x=-2.5$, $y=3.2$.

б) значение x, которому соответствует значение y, равное 8; –2.

Находим значения x по графику или решая уравнение $x = -\frac{8}{y}$:

• Если $y = 8$, по графику находим $x=-1$. Проверка: $x = -\frac{8}{8} = -1$.
• Если $y = -2$, по графику находим $x=4$. Проверка: $x = -\frac{8}{-2} = 4$.

Ответ: при $y=8$, $x=-1$; при $y=-2$, $x=4$.

186. Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$, и, используя его, решите уравнение:

a) $\frac{6}{x}=x$;

б) $\frac{6}{x}=-x+6$.

Для решения уравнений графическим методом сначала построим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=6 > 0$. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для построения графика. Возьмем несколько точек для каждой ветви: для $x>0$ можно взять точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), а для $x<0$ — точки (-1; -6), (-2; -3), (-3; -2), (-6; -1).

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавными линиями, получим график гиперболы $y = \frac{6}{x}$. Теперь используем этот график для решения уравнений.

а) Чтобы решить уравнение $\frac{6}{x} = x$, необходимо в той же системе координат построить график функции $y=x$. Это прямая, проходящая через начало координат (биссектриса I и III координатных четвертей).

Из графика видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. По графику можно определить их приблизительные значения: $x_1 \approx -2.4$ и $x_2 \approx 2.4$. Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически:

$\frac{6}{x} = x$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$

Точные значения корней ($\sqrt{6} \approx 2.45$) подтверждают графическую оценку.
Ответ: $x_1 = -\sqrt{6}, x_2 = \sqrt{6}$.

б) Для решения уравнения $\frac{6}{x} = -x + 6$ в той же системе координат построим график функции $y = -x + 6$. Это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: при $x=0$, $y=6$ (точка (0; 6)) и при $x=6$, $y=0$ (точка (6; 0)).

Соединив эти точки, получим прямую. Из графика видно, что прямая $y=-x+6$ пересекает гиперболу $y=\frac{6}{x}$ в двух точках в первой четверти. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. По графику можно определить их приблизительные значения: $x_1 \approx 1.3$ и $x_2 \approx 4.7$. Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически.

$\frac{6}{x} = -x + 6$
$6 = -x^2 + 6x$
$x^2 - 6x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$.

Точные значения корней ($3 - \sqrt{3} \approx 1.27$ и $3 + \sqrt{3} \approx 4.73$) подтверждают нашу графическую оценку.
Ответ: $x_1 = 3 - \sqrt{3}, x_2 = 3 + \sqrt{3}$.

188. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:

а) $\frac{k}{x} = x^2$, где $k > 0$; в) $\frac{k}{x} = x^3$, где $k > 0$;

б) $\frac{k}{x} = x^2$, где $k < 0$; г) $\frac{k}{x} = x^3$, где $k < 0$.

1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций $y = \frac{k}{x}$.

3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

Для определения количества решений уравнения необходимо представить его в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Количество решений исходного уравнения будет равно количеству точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. В нашем случае это функции $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^2$ или $y = x^3$.

а) $\frac{k}{x} = x^2$, где $k > 0$

Рассмотрим графики двух функций: $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^2$.
1. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
2. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График расположен в I и II координатных четвертях.
Анализируя расположение графиков, видим, что они могут пересечься только в I четверти, где определены обе функции. В этой четверти ветвь параболы $y = x^2$ возрастает от $(0,0)$ до $+\infty$, а ветвь гиперболы $y = \frac{k}{x}$ убывает от $+\infty$ до $0$. Таким образом, графики обязательно пересекутся в одной точке.
Следовательно, уравнение имеет одно решение.
Алгебраическая проверка: Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии $x \neq 0$): $k = x^3$. Отсюда $x = \sqrt[3]{k}$. Поскольку $k > 0$, существует ровно один действительный корень, и он положителен.
Ответ: 1 решение.

б) $\frac{k}{x} = x^2$, где $k < 0$

Рассмотрим графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^2$.
1. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.
2. График функции $y = x^2$ — парабола, расположенная в I и II координатных четвертях.
Общая область для графиков — II координатная четверть. В этой четверти ветвь параболы $y = x^2$ убывает от $+\infty$ до $0$ (при изменении $x$ от $-\infty$ до $0$), а ветвь гиперболы $y = \frac{k}{x}$ возрастает от $0$ до $+\infty$. Таким образом, графики обязательно пересекутся в одной точке во II четверти.
Следовательно, уравнение имеет одно решение.
Алгебраическая проверка: $k = x^3$, откуда $x = \sqrt[3]{k}$. Поскольку $k < 0$, существует ровно один действительный корень, и он отрицателен.
Ответ: 1 решение.

в) $\frac{k}{x} = x^3$, где $k > 0$

Рассмотрим графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^3$.
1. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ — гипербола, расположенная в I и III четвертях.
2. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, также расположенная в I и III четвертях.
В I четверти оба графика существуют. Ветвь кубической параболы возрастает от $(0,0)$ до $+\infty$, а ветвь гиперболы убывает от $+\infty$ до $0$. Они пересекаются в одной точке.
В III четверти оба графика также существуют. Ветвь кубической параболы возрастает от $-\infty$ до $(0,0)$, а ветвь гиперболы возрастает от $-\infty$ до $0$. Они также пересекаются в одной точке.
Таким образом, графики имеют две точки пересечения.
Алгебраическая проверка: $k = x^4$. Поскольку $k > 0$, это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[4]{k}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{k}$.
Ответ: 2 решения.

г) $\frac{k}{x} = x^3$, где $k < 0$

Рассмотрим графики функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = x^3$.
1. График функции $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях.
2. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях.
Графики этих функций расположены в разных координатных четвертях и не имеют общих областей, кроме осей координат (которые они не пересекают, за исключением $y=x^3$ в начале координат, где $y=k/x$ не определена). Следовательно, у них нет точек пересечения.
Уравнение не имеет решений.
Алгебраическая проверка: $k = x^4$. Поскольку $k < 0$, а выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \geq 0$) для любого действительного $x$, это уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: нет решений.

190. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку:

а) A (8; 0,125);

б) B ($\frac{2}{3}$; $1\frac{4}{5}$);

в) C (-25; -0,2).

а) Общая формула обратной пропорциональности имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — это ненулевой коэффициент пропорциональности. Чтобы найти этот коэффициент, мы используем тот факт, что график функции проходит через заданную точку. Для точки $A (8; 0,125)$ её координаты $x = 8$ и $y = 0,125$ должны удовлетворять уравнению. Подставим эти значения в формулу: $0,125 = \frac{k}{8}$. Из этого уравнения находим $k$: $k = 8 \cdot 0,125$. Так как $0,125$ это то же самое, что и $\frac{1}{8}$, вычисление становится проще: $k = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$. Теперь, зная коэффициент $k=1$, мы можем записать итоговую формулу обратной пропорциональности.
Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем общую формулу $y = \frac{k}{x}$ и координаты точки $B \left(\frac{2}{3}; 1\frac{4}{5}\right)$. Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{4}{5}$ в неправильную дробь для удобства вычислений: $1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$. Теперь подставим значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{9}{5}$ в формулу: $\frac{9}{5} = \frac{k}{\frac{2}{3}}$. Чтобы найти $k$, умножим $x$ на $y$: $k = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{5}$. $k = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{18}{15}$. Сократим полученную дробь на 3: $k = \frac{6}{5}$. Подставляем найденное значение $k$ в общую формулу. Полученное уравнение $y = \frac{\frac{6}{5}}{x}$ можно записать в более удобном виде.
Ответ: $y = \frac{6}{5x}$.

в) Для точки $C (-25; -0,2)$ повторяем тот же алгоритм. Подставляем её координаты $x = -25$ и $y = -0,2$ в формулу $y = \frac{k}{x}$: $-0,2 = \frac{k}{-25}$. Находим коэффициент $k$: $k = -25 \cdot (-0,2)$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $k = 25 \cdot 0,2$. $k = 5$. Теперь мы можем записать окончательную формулу, подставив $k=5$ в общее уравнение.
Ответ: $y = \frac{5}{x}$.