Страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

197. При каких значениях a и b равенство

$\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

является тождеством?

Для того чтобы данное равенство было тождеством, оно должно выполняться для всех допустимых значений переменной x. Исходное равенство:

$\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

Областью допустимых значений для этого равенства являются все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=2$, так как при этих значениях знаменатели обращаются в ноль.

Чтобы найти значения a и b, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:

$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2)}{(x-1)(x-2)} + \frac{b(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

Теперь исходное тождество можно записать так:

$\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

Поскольку это тождество, и знаменатели в обеих частях равны, то числители также должны быть тождественно равны:

$6x = a(x-2) + b(x-1)$

Это равенство должно выполняться при любом значении x. Для нахождения коэффициентов a и b можно подставить в это равенство конкретные значения x. Наиболее удобно использовать значения, которые упрощают выражение, а именно $x=1$ и $x=2$.

1. Подставим значение $x=1$:

$6 \cdot 1 = a(1-2) + b(1-1)$

$6 = a(-1) + b(0)$

$6 = -a$

$a = -6$

2. Подставим значение $x=2$:

$6 \cdot 2 = a(2-2) + b(2-1)$

$12 = a(0) + b(1)$

$12 = b$

Таким образом, мы определили, что равенство является тождеством при $a=-6$ и $b=12$.

Ответ: $a = -6, b = 12$.

199. Представьте дробь $\frac{4x+3}{x^2-1}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $x - 1$ и $x + 1$.

Чтобы представить дробь $\frac{4x + 3}{x^2 - 1}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $x - 1$ и $x + 1$, мы будем использовать метод разложения на простейшие дроби.

1. Разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $x^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

2. Запишем искомое разложение.

Мы ищем представление в виде:

$\frac{4x + 3}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

Здесь $A$ и $B$ — это неизвестные коэффициенты, которые нам нужно найти.

3. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители.

Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1)$:

$\frac{A(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{B(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A(x + 1) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$

Так как исходная дробь равна получившейся, и их знаменатели одинаковы, то должны быть равны и их числители:

$4x + 3 = A(x + 1) + B(x - 1)$

4. Найдем коэффициенты A и B.

Это равенство должно быть верным для любого значения $x$. Чтобы найти коэффициенты, можно подставить в равенство "удобные" значения $x$, которые обращают в ноль один из множителей.

• Пусть $x = 1$. Тогда скобка $(x - 1)$ обнулится:

  $4(1) + 3 = A(1 + 1) + B(1 - 1)$

  $7 = A \cdot 2 + B \cdot 0$

  $7 = 2A$

  $A = \frac{7}{2}$

• Пусть $x = -1$. Тогда скобка $(x + 1)$ обнулится:

  $4(-1) + 3 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1)$

  $-1 = A \cdot 0 + B \cdot (-2)$

  $-1 = -2B$

  $B = \frac{1}{2}$

5. Запишем конечный результат.

Мы нашли значения коэффициентов: $A = \frac{7}{2}$ и $B = \frac{1}{2}$. Подставляем их в наше разложение:

$\frac{4x + 3}{x^2 - 1} = \frac{7/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1}$

Это выражение можно также записать в более удобном виде:

$\frac{7}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)}$

Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы двух дробей с требуемыми знаменателями.

Ответ: $\frac{7}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)}$

201. (Для работы в парах.) Зная, что $m$ — целое число, найдите целые значения дроби:

а) $\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3}$;

б) $\frac{(m - 4)^2}{m - 2}$.

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.

Для того чтобы найти все целые значения, которые может принимать дробь при целых значениях переменной $m$, нужно выполнить преобразование, которое называется выделением целой части дроби. Суть этого преобразования в том, чтобы представить числитель в виде суммы или разности выражения, которое делится нацело на знаменатель, и некоторого остатка (числа). После этого дробь можно будет записать в виде суммы многочлена (в данных случаях он будет первой степени) и новой дроби, у которой числитель — постоянное число, а знаменатель тот же, что и у исходной дроби.

Исходное выражение будет принимать целые значения только тогда, когда новая, упрощенная дробь будет целым числом. А это возможно лишь в том случае, когда ее знаменатель является целым делителем ее числителя. Перебрав все целые делители, мы найдем все возможные значения $m$, а затем и соответствующие им целые значения исходной дроби.

Дана дробь $\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3}$.

По условию $m$ — целое число. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $m - 3 \neq 0$, то есть $m \neq 3$.

Преобразуем числитель, чтобы выделить в нем множитель $(m-3)$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$m^2 - 6m + 10 = (m^2 - 6m + 9) + 1 = (m-3)^2 + 1$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и разделим почленно:

$\frac{(m-3)^2 + 1}{m - 3} = \frac{(m-3)^2}{m - 3} + \frac{1}{m - 3} = m - 3 + \frac{1}{m - 3}$.

Поскольку $m$ — целое число, то и $(m - 3)$ является целым числом. Для того чтобы сумма $m - 3 + \frac{1}{m - 3}$ была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{1}{m - 3}$ также было целым числом.

Дробь $\frac{1}{m-3}$ является целым числом, если ее знаменатель $(m-3)$ является делителем числителя, то есть 1. Целыми делителями числа 1 являются числа 1 и -1.

Рассмотрим два возможных случая:

1. $m - 3 = 1 \implies m = 4$. В этом случае значение дроби равно: $4 - 3 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$.
2. $m - 3 = -1 \implies m = 2$. В этом случае значение дроби равно: $2 - 3 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

Таким образом, дробь может принимать два целых значения: 2 и -2.

Ответ: -2; 2.

Дана дробь $\frac{(m-4)^2}{m - 2}$.

По условию $m$ — целое число. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $m - 2 \neq 0$, то есть $m \neq 2$.

Выделим целую часть дроби. Для этого преобразуем числитель, выразив основание степени $(m-4)$ через $(m-2)$:

$m - 4 = (m - 2) - 2$.

Тогда числитель примет вид:

$(m-4)^2 = ((m-2) - 2)^2 = (m-2)^2 - 2 \cdot (m-2) \cdot 2 + 2^2 = (m-2)^2 - 4(m-2) + 4$.

Подставим это выражение в дробь и выполним почленное деление:

$\frac{(m-2)^2 - 4(m-2) + 4}{m - 2} = \frac{(m-2)^2}{m-2} - \frac{4(m-2)}{m-2} + \frac{4}{m-2} = (m-2) - 4 + \frac{4}{m-2} = m - 6 + \frac{4}{m-2}$.

Поскольку $m$ — целое число, то и $(m - 6)$ является целым числом. Чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{4}{m-2}$ также была целым числом.

Это возможно, если ее знаменатель $(m-2)$ является делителем числителя, то есть 4.

Целыми делителями числа 4 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Рассмотрим все шесть возможных случаев:

• Если $m - 2 = 1 \implies m = 3$. Значение дроби: $3 - 6 + \frac{4}{1} = -3 + 4 = 1$.
• Если $m - 2 = -1 \implies m = 1$. Значение дроби: $1 - 6 + \frac{4}{-1} = -5 - 4 = -9$.
• Если $m - 2 = 2 \implies m = 4$. Значение дроби: $4 - 6 + \frac{4}{2} = -2 + 2 = 0$.
• Если $m - 2 = -2 \implies m = 0$. Значение дроби: $0 - 6 + \frac{4}{-2} = -6 - 2 = -8$.
• Если $m - 2 = 4 \implies m = 6$. Значение дроби: $6 - 6 + \frac{4}{4} = 0 + 1 = 1$.
• Если $m - 2 = -4 \implies m = -2$. Значение дроби: $-2 - 6 + \frac{4}{-4} = -8 - 1 = -9$.

Искомые целые значения дроби: -9, -8, 0, 1.

Ответ: -9; -8; 0; 1.

203. Найдите все точки графика функции $y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}$ с целочисленными координатами.

Для того чтобы найти все точки графика функции с целочисленными координатами, необходимо найти все целые значения $x$, при которых соответствующее значение $y$ также является целым числом.

Дана функция: $y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}$.

Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=3$.

Преобразуем выражение, выделив целую часть дроби. Для этого в числителе выделим выражение $(x-3)$.

$x^2 - 6x + 1 = x^2 - 6x + 9 - 8 = (x-3)^2 - 8$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу функции:

$y = \frac{(x-3)^2 - 8}{x - 3} = \frac{(x-3)^2}{x-3} - \frac{8}{x-3}$

После упрощения получаем:

$y = x - 3 - \frac{8}{x - 3}$

По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Так как $x$ - целое число, то выражение $(x-3)$ также является целым. Для того чтобы $y$ было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{8}{x-3}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(x-3)$ является делителем числителя, то есть числа 8. Найдем все целые делители числа 8:

Делители 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Рассмотрим все возможные случаи, приравняв выражение $(x-3)$ к каждому из этих делителей, и найдем соответствующие значения $x$, а затем и $y$.

1. Если $x - 3 = 1$, то $x = 4$.
$y = 4 - 3 - \frac{8}{1} = 1 - 8 = -7$. Получаем точку $(4, -7)$.

2. Если $x - 3 = -1$, то $x = 2$.
$y = 2 - 3 - \frac{8}{-1} = -1 + 8 = 7$. Получаем точку $(2, 7)$.

3. Если $x - 3 = 2$, то $x = 5$.
$y = 5 - 3 - \frac{8}{2} = 2 - 4 = -2$. Получаем точку $(5, -2)$.

4. Если $x - 3 = -2$, то $x = 1$.
$y = 1 - 3 - \frac{8}{-2} = -2 + 4 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.

5. Если $x - 3 = 4$, то $x = 7$.
$y = 7 - 3 - \frac{8}{4} = 4 - 2 = 2$. Получаем точку $(7, 2)$.

6. Если $x - 3 = -4$, то $x = -1$.
$y = -1 - 3 - \frac{8}{-4} = -4 + 2 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.

7. Если $x - 3 = 8$, то $x = 11$.
$y = 11 - 3 - \frac{8}{8} = 8 - 1 = 7$. Получаем точку $(11, 7)$.

8. Если $x - 3 = -8$, то $x = -5$.
$y = -5 - 3 - \frac{8}{-8} = -8 + 1 = -7$. Получаем точку $(-5, -7)$.

Таким образом, мы нашли 8 точек с целочисленными координатами.

Ответ: $(-5, -7)$, $(-1, -2)$, $(1, 2)$, $(2, 7)$, $(4, -7)$, $(5, -2)$, $(7, 2)$, $(11, 7)$.

205. Найдите все пары натуральных чисел a и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна $\frac{1}{7}$.

По условию задачи требуется найти все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых выполняется равенство:$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7} $$Преобразуем данное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$$ \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{7} $$Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:$$ 7(a+b) = ab $$Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы в дальнейшем разложить выражение на множители:$$ ab - 7a - 7b = 0 $$Для решения этого уравнения в натуральных числах применим метод разложения на множители, известный как "Simon's Favorite Factoring Trick" (Любимый трюк Саймона для разложения на множители). Прибавим к обеим частям уравнения число 49:$$ ab - 7a - 7b + 49 = 49 $$Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:$$ a(b-7) - 7(b-7) = 49 $$$$ (a-7)(b-7) = 49 $$Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то выражения $(a-7)$ и $(b-7)$ являются целыми числами. Их произведение равно 49, следовательно, они должны быть парой целых делителей числа 49.Выпишем все возможные пары целых делителей числа 49:$(1, 49)$, $(7, 7)$, $(49, 1)$, а также отрицательные пары $(-1, -49)$, $(-7, -7)$, $(-49, -1)$.Рассмотрим последовательно каждый случай:

1. Если $a-7=1$ и $b-7=49$, тогда $a = 1+7=8$ и $b = 49+7=56$. Пара $(8, 56)$ состоит из натуральных чисел, значит, она является решением.
2. Если $a-7=7$ и $b-7=7$, тогда $a = 7+7=14$ и $b = 7+7=14$. Пара $(14, 14)$ состоит из натуральных чисел и также является решением.
3. Если $a-7=49$ и $b-7=1$, тогда $a = 49+7=56$ и $b = 1+7=8$. Пара $(56, 8)$ состоит из натуральных чисел и является решением.
4. Если $a-7=-1$ и $b-7=-49$, тогда $a = -1+7=6$ и $b = -49+7=-42$. Так как $b$ — не натуральное число, эта пара не является решением.
5. Если $a-7=-7$ и $b-7=-7$, тогда $a = -7+7=0$ и $b = -7+7=0$. Ноль не является натуральным числом, поэтому эта пара не является решением.
6. Если $a-7=-49$ и $b-7=-1$, тогда $a = -49+7=-42$ и $b = -1+7=6$. Так как $a$ — не натуральное число, эта пара не является решением.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты и нашли все пары натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: $(8, 56)$, $(14, 14)$, $(56, 8)$.

198. Представьте дробь $\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $x+4$ и $x-2$.

Для того чтобы представить данную дробь в виде суммы двух дробей с указанными знаменателями, необходимо найти такие числа $A$ и $B$, чтобы выполнялось тождество:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-2}$

Для нахождения неизвестных коэффициентов $A$ и $B$ приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x+4)(x-2)$:

$\frac{A(x-2) + B(x+4)}{(x+4)(x-2)} = \frac{Ax - 2A + Bx + 4B}{(x+4)(x-2)} = \frac{(A+B)x + (4B-2A)}{(x+4)(x-2)}$

Теперь мы можем приравнять числители исходной и полученной дробей, так как их знаменатели равны:

$5x - 1 = (A+B)x + (4B-2A)$

Данное равенство должно быть верным для любых значений $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях равны. Приравнивая коэффициенты, получаем систему из двух линейных уравнений:

$A+B=5$ (коэффициенты при $x$)
$4B-2A=-1$ (свободные члены)

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $A$:

$A = 5 - B$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4B - 2(5 - B) = -1$

$4B - 10 + 2B = -1$

$6B = 9$

$B = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем $A$:

$A = 5 - B = 5 - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Таким образом, мы нашли искомые коэффициенты: $A = \frac{7}{2}$ и $B = \frac{3}{2}$.

Подставляем найденные значения в первоначальное разложение:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{7/2}{x+4} + \frac{3/2}{x-2}$

Это выражение можно записать в виде:

$\frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$

Ответ: $\frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$

200. Выясните, при каких целых $a$ дробь $\frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2}$ принимает целые значения, и найдите эти значения.

Для того чтобы дробь $\frac{a^2-4a+1}{a-2}$ принимала целые значения при целых значениях $a$, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Преобразуем данную дробь, выделив целую часть. Для этого можно выполнить деление многочлена на многочлен "уголком" или преобразовать числитель.

Выполним преобразование числителя, выделив в нем выражение $(a-2)^2$:

$a^2-4a+1 = (a^2-4a+4) - 4 + 1 = (a-2)^2 - 3$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(a-2)^2 - 3}{a-2} = \frac{(a-2)^2}{a-2} - \frac{3}{a-2} = a-2 - \frac{3}{a-2}$

По условию, $a$ — целое число. Следовательно, выражение $a-2$ также является целым числом. Для того чтобы все выражение $a-2 - \frac{3}{a-2}$ было целым, необходимо, чтобы дробная часть $\frac{3}{a-2}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $a-2$ является делителем числа 3.

Целыми делителями числа 3 являются числа: $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1) $a-2=1 \implies a=3$.
Значение дроби: $3-2 - \frac{3}{1} = 1 - 3 = -2$.

2) $a-2=-1 \implies a=1$.
Значение дроби: $1-2 - \frac{3}{-1} = -1 + 3 = 2$.

3) $a-2=3 \implies a=5$.
Значение дроби: $5-2 - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2$.

4) $a-2=-3 \implies a=-1$.
Значение дроби: $-1-2 - \frac{3}{-3} = -3 + 1 = -2$.

Таким образом, мы нашли все целые значения $a$, при которых дробь принимает целые значения, и нашли сами эти значения.

Ответ: при $a \in \{-1, 1, 3, 5\}$ дробь принимает целые значения, которые равны $-2$ и $2$.

202. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:

а) $5x + y - xy = 2;$

б) $xy - x + y = 8.$

а)

Дано уравнение $5x + y - xy = 2$. Для решения этого уравнения в целых числах, его необходимо преобразовать к виду, удобному для разложения на множители. Этот метод также известен как факторизация.

Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при произведении $xy$ стал положительным: $-5x - y + xy = -2$.

Перегруппируем слагаемые: $xy - 5x - y = -2$.

Теперь разложим левую часть на множители. Вынесем $x$ из первых двух слагаемых: $x(y - 5) - y = -2$.

Чтобы получить второй множитель $(y-5)$, прибавим и вычтем 5 в левой части: $x(y - 5) - y + 5 - 5 = -2$.

Сгруппируем: $x(y - 5) - (y - 5) - 5 = -2$.

Перенесем константу в правую часть: $x(y - 5) - (y - 5) = -2 + 5$.

Вынесем общий множитель $(y-5)$: $(x - 1)(y - 5) = 3$.

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то выражения $(x-1)$ и $(y-5)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3. Следовательно, они должны быть целочисленными делителями числа 3. Делителями числа 3 являются числа $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все возможные комбинации множителей:

1. $\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 5 = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 8 \end{cases}$. Получаем пару $(2, 8)$.

2. $\begin{cases} x - 1 = 3 \\ y - 5 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 4 \\ y = 6 \end{cases}$. Получаем пару $(4, 6)$.

3. $\begin{cases} x - 1 = -1 \\ y - 5 = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases}$. Получаем пару $(0, 2)$.

4. $\begin{cases} x - 1 = -3 \\ y - 5 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = 4 \end{cases}$. Получаем пару $(-2, 4)$.

Ответ: $(2, 8), (4, 6), (0, 2), (-2, 4)$.

б)

Дано уравнение $xy - x + y = 8$. Решим его в целых числах, используя аналогичный метод факторизации.

Перегруппируем слагаемые для вынесения общего множителя: $x(y - 1) + y = 8$.

Чтобы выделить множитель $(y-1)$ из второго слагаемого, вычтем 1 из обеих частей уравнения: $x(y-1) + y - 1 = 8 - 1$.

Теперь можно сгруппировать слагаемые в левой части и вынести общий множитель $(y-1)$: $x(y-1) + 1(y-1) = 7$.

$(x + 1)(y - 1) = 7$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x+1)$ и $(y-1)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7, простому числу. Следовательно, они могут быть только парами его целочисленных делителей. Делители числа 7: $1, -1, 7, -7$.

Рассмотрим все возможные комбинации:

1. $\begin{cases} x + 1 = 1 \\ y - 1 = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 8 \end{cases}$. Получаем пару $(0, 8)$.

2. $\begin{cases} x + 1 = 7 \\ y - 1 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$. Получаем пару $(6, 2)$.

3. $\begin{cases} x + 1 = -1 \\ y - 1 = -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = -6 \end{cases}$. Получаем пару $(-2, -6)$.

4. $\begin{cases} x + 1 = -7 \\ y - 1 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -8 \\ y = 0 \end{cases}$. Получаем пару $(-8, 0)$.

Ответ: $(0, 8), (6, 2), (-2, -6), (-8, 0)$.

204. Докажите, что при любом целом $a$, отличном от нуля, значение дроби $\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1}$ не является целым числом.

Для доказательства преобразуем данную дробь, выделив из неё целую часть. Для этого в числителе $5a^2+6$ искусственно создадим выражение, кратное знаменателю $a^2+1$.

$\frac{5a^2+6}{a^2+1} = \frac{5a^2+5+1}{a^2+1} = \frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1}$

Теперь разделим полученный числитель почленно на знаменатель:

$\frac{5(a^2+1)}{a^2+1} + \frac{1}{a^2+1} = 5 + \frac{1}{a^2+1}$

Полученное выражение $5 + \frac{1}{a^2+1}$ является суммой целого числа 5 и дроби $\frac{1}{a^2+1}$. Эта сумма будет целым числом тогда и только тогда, когда дробь $\frac{1}{a^2+1}$ сама является целым числом.

Дробь $\frac{1}{a^2+1}$ может быть целым числом только в том случае, если её знаменатель $a^2+1$ является делителем числителя, то есть 1. Целыми делителями числа 1 являются числа 1 и -1. Рассмотрим оба возможных случая.

1. $a^2+1 = 1$
Вычитая 1 из обеих частей, получаем $a^2 = 0$, откуда $a = 0$. Однако, по условию задачи, $a$ — это целое число, отличное от нуля ($a \ne 0$). Следовательно, этот случай невозможен в рамках условий задачи.

2. $a^2+1 = -1$
Вычитая 1 из обеих частей, получаем $a^2 = -2$. Нет такого целого (и даже действительного) числа $a$, квадрат которого был бы равен отрицательному числу -2. Следовательно, это уравнение не имеет решений в целых числах.

Поскольку ни один из возможных случаев не приводит к решению для целого $a \ne 0$, мы заключаем, что дробь $\frac{1}{a^2+1}$ не может быть целым числом при заданных условиях. А значит, и вся сумма $5 + \frac{1}{a^2+1}$ не является целым числом.

Ответ: утверждение доказано. При любом целом $a$, отличном от нуля, выражение $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$ не является целым числом.