Номер 202, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 202, страница 52.

202. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:

а) $5x + y - xy = 2;$

б) $xy - x + y = 8.$

а)

Дано уравнение $5x + y - xy = 2$. Для решения этого уравнения в целых числах, его необходимо преобразовать к виду, удобному для разложения на множители. Этот метод также известен как факторизация.

Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при произведении $xy$ стал положительным: $-5x - y + xy = -2$.

Перегруппируем слагаемые: $xy - 5x - y = -2$.

Теперь разложим левую часть на множители. Вынесем $x$ из первых двух слагаемых: $x(y - 5) - y = -2$.

Чтобы получить второй множитель $(y-5)$, прибавим и вычтем 5 в левой части: $x(y - 5) - y + 5 - 5 = -2$.

Сгруппируем: $x(y - 5) - (y - 5) - 5 = -2$.

Перенесем константу в правую часть: $x(y - 5) - (y - 5) = -2 + 5$.

Вынесем общий множитель $(y-5)$: $(x - 1)(y - 5) = 3$.

Поскольку по условию $x$ и $y$ являются целыми числами, то выражения $(x-1)$ и $(y-5)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3. Следовательно, они должны быть целочисленными делителями числа 3. Делителями числа 3 являются числа $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все возможные комбинации множителей:

1. $\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 5 = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 8 \end{cases}$. Получаем пару $(2, 8)$.

2. $\begin{cases} x - 1 = 3 \\ y - 5 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 4 \\ y = 6 \end{cases}$. Получаем пару $(4, 6)$.

3. $\begin{cases} x - 1 = -1 \\ y - 5 = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \end{cases}$. Получаем пару $(0, 2)$.

4. $\begin{cases} x - 1 = -3 \\ y - 5 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = 4 \end{cases}$. Получаем пару $(-2, 4)$.

Ответ: $(2, 8), (4, 6), (0, 2), (-2, 4)$.

б)

Дано уравнение $xy - x + y = 8$. Решим его в целых числах, используя аналогичный метод факторизации.

Перегруппируем слагаемые для вынесения общего множителя: $x(y - 1) + y = 8$.

Чтобы выделить множитель $(y-1)$ из второго слагаемого, вычтем 1 из обеих частей уравнения: $x(y-1) + y - 1 = 8 - 1$.

Теперь можно сгруппировать слагаемые в левой части и вынести общий множитель $(y-1)$: $x(y-1) + 1(y-1) = 7$.

$(x + 1)(y - 1) = 7$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x+1)$ и $(y-1)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7, простому числу. Следовательно, они могут быть только парами его целочисленных делителей. Делители числа 7: $1, -1, 7, -7$.

Рассмотрим все возможные комбинации:

1. $\begin{cases} x + 1 = 1 \\ y - 1 = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 8 \end{cases}$. Получаем пару $(0, 8)$.

2. $\begin{cases} x + 1 = 7 \\ y - 1 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$. Получаем пару $(6, 2)$.

3. $\begin{cases} x + 1 = -1 \\ y - 1 = -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = -6 \end{cases}$. Получаем пару $(-2, -6)$.

4. $\begin{cases} x + 1 = -7 \\ y - 1 = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -8 \\ y = 0 \end{cases}$. Получаем пару $(-8, 0)$.

Ответ: $(0, 8), (6, 2), (-2, -6), (-8, 0)$.