Номер 204, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 204, страница 52.

204. Докажите, что при любом целом $a$, отличном от нуля, значение дроби $\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1}$ не является целым числом.

Для доказательства преобразуем данную дробь, выделив из неё целую часть. Для этого в числителе $5a^2+6$ искусственно создадим выражение, кратное знаменателю $a^2+1$.

$\frac{5a^2+6}{a^2+1} = \frac{5a^2+5+1}{a^2+1} = \frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1}$

Теперь разделим полученный числитель почленно на знаменатель:

$\frac{5(a^2+1)}{a^2+1} + \frac{1}{a^2+1} = 5 + \frac{1}{a^2+1}$

Полученное выражение $5 + \frac{1}{a^2+1}$ является суммой целого числа 5 и дроби $\frac{1}{a^2+1}$. Эта сумма будет целым числом тогда и только тогда, когда дробь $\frac{1}{a^2+1}$ сама является целым числом.

Дробь $\frac{1}{a^2+1}$ может быть целым числом только в том случае, если её знаменатель $a^2+1$ является делителем числителя, то есть 1. Целыми делителями числа 1 являются числа 1 и -1. Рассмотрим оба возможных случая.

1. $a^2+1 = 1$
Вычитая 1 из обеих частей, получаем $a^2 = 0$, откуда $a = 0$. Однако, по условию задачи, $a$ — это целое число, отличное от нуля ($a \ne 0$). Следовательно, этот случай невозможен в рамках условий задачи.

2. $a^2+1 = -1$
Вычитая 1 из обеих частей, получаем $a^2 = -2$. Нет такого целого (и даже действительного) числа $a$, квадрат которого был бы равен отрицательному числу -2. Следовательно, это уравнение не имеет решений в целых числах.

Поскольку ни один из возможных случаев не приводит к решению для целого $a \ne 0$, мы заключаем, что дробь $\frac{1}{a^2+1}$ не может быть целым числом при заданных условиях. А значит, и вся сумма $5 + \frac{1}{a^2+1}$ не является целым числом.

Ответ: утверждение доказано. При любом целом $a$, отличном от нуля, выражение $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$ не является целым числом.