Номер 201, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 201, страница 52.

201. (Для работы в парах.) Зная, что $m$ — целое число, найдите целые значения дроби:

а) $\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3}$;

б) $\frac{(m - 4)^2}{m - 2}$.

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.

Для того чтобы найти все целые значения, которые может принимать дробь при целых значениях переменной $m$, нужно выполнить преобразование, которое называется выделением целой части дроби. Суть этого преобразования в том, чтобы представить числитель в виде суммы или разности выражения, которое делится нацело на знаменатель, и некоторого остатка (числа). После этого дробь можно будет записать в виде суммы многочлена (в данных случаях он будет первой степени) и новой дроби, у которой числитель — постоянное число, а знаменатель тот же, что и у исходной дроби.

Исходное выражение будет принимать целые значения только тогда, когда новая, упрощенная дробь будет целым числом. А это возможно лишь в том случае, когда ее знаменатель является целым делителем ее числителя. Перебрав все целые делители, мы найдем все возможные значения $m$, а затем и соответствующие им целые значения исходной дроби.

а)

Дана дробь $\frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3}$.

По условию $m$ — целое число. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $m - 3 \neq 0$, то есть $m \neq 3$.

Преобразуем числитель, чтобы выделить в нем множитель $(m-3)$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$m^2 - 6m + 10 = (m^2 - 6m + 9) + 1 = (m-3)^2 + 1$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и разделим почленно:

$\frac{(m-3)^2 + 1}{m - 3} = \frac{(m-3)^2}{m - 3} + \frac{1}{m - 3} = m - 3 + \frac{1}{m - 3}$.

Поскольку $m$ — целое число, то и $(m - 3)$ является целым числом. Для того чтобы сумма $m - 3 + \frac{1}{m - 3}$ была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{1}{m - 3}$ также было целым числом.

Дробь $\frac{1}{m-3}$ является целым числом, если ее знаменатель $(m-3)$ является делителем числителя, то есть 1. Целыми делителями числа 1 являются числа 1 и -1.

Рассмотрим два возможных случая:

1. $m - 3 = 1 \implies m = 4$. В этом случае значение дроби равно: $4 - 3 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$.
2. $m - 3 = -1 \implies m = 2$. В этом случае значение дроби равно: $2 - 3 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

Таким образом, дробь может принимать два целых значения: 2 и -2.

Ответ: -2; 2.

б)

Дана дробь $\frac{(m-4)^2}{m - 2}$.

По условию $m$ — целое число. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $m - 2 \neq 0$, то есть $m \neq 2$.

Выделим целую часть дроби. Для этого преобразуем числитель, выразив основание степени $(m-4)$ через $(m-2)$:

$m - 4 = (m - 2) - 2$.

Тогда числитель примет вид:

$(m-4)^2 = ((m-2) - 2)^2 = (m-2)^2 - 2 \cdot (m-2) \cdot 2 + 2^2 = (m-2)^2 - 4(m-2) + 4$.

Подставим это выражение в дробь и выполним почленное деление:

$\frac{(m-2)^2 - 4(m-2) + 4}{m - 2} = \frac{(m-2)^2}{m-2} - \frac{4(m-2)}{m-2} + \frac{4}{m-2} = (m-2) - 4 + \frac{4}{m-2} = m - 6 + \frac{4}{m-2}$.

Поскольку $m$ — целое число, то и $(m - 6)$ является целым числом. Чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{4}{m-2}$ также была целым числом.

Это возможно, если ее знаменатель $(m-2)$ является делителем числителя, то есть 4.

Целыми делителями числа 4 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Рассмотрим все шесть возможных случаев:

• Если $m - 2 = 1 \implies m = 3$. Значение дроби: $3 - 6 + \frac{4}{1} = -3 + 4 = 1$.
• Если $m - 2 = -1 \implies m = 1$. Значение дроби: $1 - 6 + \frac{4}{-1} = -5 - 4 = -9$.
• Если $m - 2 = 2 \implies m = 4$. Значение дроби: $4 - 6 + \frac{4}{2} = -2 + 2 = 0$.
• Если $m - 2 = -2 \implies m = 0$. Значение дроби: $0 - 6 + \frac{4}{-2} = -6 - 2 = -8$.
• Если $m - 2 = 4 \implies m = 6$. Значение дроби: $6 - 6 + \frac{4}{4} = 0 + 1 = 1$.
• Если $m - 2 = -4 \implies m = -2$. Значение дроби: $-2 - 6 + \frac{4}{-4} = -8 - 1 = -9$.

Искомые целые значения дроби: -9, -8, 0, 1.

Ответ: -9; -8; 0; 1.