Номер 4, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 4, страница 49.

4 В каких координатных четвертях расположен график функции $y = -\frac{k}{x}$ при $k > 0$? при $k < 0$?

Данная функция $y = \frac{k}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность. Графиком этой функции является гипербола, состоящая из двух ветвей. Расположение этих ветвей на координатной плоскости определяется знаком коэффициента $k$.

Чтобы определить, в каких координатных четвертях находится график, необходимо проанализировать знаки координат $x$ и $y$. Вспомним, как знаки координат определяют четверть:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Из уравнения функции $y = \frac{k}{x}$ можно выразить произведение координат: $x \cdot y = k$ (при условии, что $x \neq 0$). Это означает, что знак произведения координат $x$ и $y$ всегда совпадает со знаком коэффициента $k$.

при k > 0?

Если коэффициент $k$ является положительным числом ($k > 0$), то и произведение $x \cdot y$ должно быть положительным. Произведение двух чисел положительно в том и только в том случае, если оба числа имеют одинаковый знак.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Обе координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$. Точки с такими координатами располагаются в I (первой) координатной четверти.
2. Обе координаты отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$. Точки с такими координатами располагаются в III (третьей) координатной четверти.

Таким образом, при $k > 0$ ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

при k < 0?

Если коэффициент $k$ является отрицательным числом ($k < 0$), то и произведение $x \cdot y$ должно быть отрицательным. Произведение двух чисел отрицательно в том и только в том случае, если числа имеют разные знаки.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Координата $x$ отрицательна, а координата $y$ положительна: $x < 0$ и $y > 0$. Точки с такими координатами располагаются во II (второй) координатной четверти.
2. Координата $x$ положительна, а координата $y$ отрицательна: $x > 0$ и $y < 0$. Точки с такими координатами располагаются в IV (четвертой) координатной четверти.

Таким образом, при $k < 0$ ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.