Номер 194, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция y=k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 194, страница 48.

194. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:

а) $ \frac{5(x-y)^2}{(3y-3x)^2} $;б) $ \frac{(3x-6y)^2}{4(2y-x)^2} $.

а) Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от переменных, необходимо упростить данное выражение и показать, что в результате получится постоянное число.

Рассмотрим выражение $\frac{5(x-y)^2}{(3y-3x)^2}$.

Сначала преобразуем знаменатель. Вынесем в выражении $(3y-3x)$ общий множитель 3 за скобки:

$(3y-3x)^2 = (3(y-x))^2 = 3^2 \cdot (y-x)^2 = 9(y-x)^2$.

Далее заметим, что выражения $(x-y)$ и $(y-x)$ являются противоположными, то есть $y-x = -(x-y)$. При возведении в квадрат это свойство дает следующий результат:

$(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (-1)^2(x-y)^2 = (x-y)^2$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{5(x-y)^2}{(3y-3x)^2} = \frac{5(x-y)^2}{9(y-x)^2} = \frac{5(x-y)^2}{9(x-y)^2}$.

Допустимыми являются все значения переменных, при которых знаменатель не обращается в нуль: $3y-3x \neq 0$, что означает $y \neq x$. При этом условии выражение $(x-y)^2$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$\frac{5(x-y)^2}{9(x-y)^2} = \frac{5}{9}$.

Полученное значение $\frac{5}{9}$ является константой и не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

б) Аналогично упростим выражение $\frac{(3x-6y)^2}{4(2y-x)^2}$.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем в выражении $(3x-6y)$ общий множитель 3 за скобки:

$(3x-6y)^2 = (3(x-2y))^2 = 3^2 \cdot (x-2y)^2 = 9(x-2y)^2$.

Теперь рассмотрим выражение в знаменателе. Как и в предыдущем пункте, $(2y-x) = -(x-2y)$, поэтому их квадраты равны:

$(2y-x)^2 = (-(x-2y))^2 = (x-2y)^2$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{9(x-2y)^2}{4(2y-x)^2} = \frac{9(x-2y)^2}{4(x-2y)^2}$.

Допустимыми являются все значения переменных, при которых знаменатель не обращается в нуль: $2y-x \neq 0$, что означает $x \neq 2y$. При этом условии выражение $(x-2y)^2$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$\frac{9(x-2y)^2}{4(x-2y)^2} = \frac{9}{4}$.

Полученное значение $\frac{9}{4}$ является константой и не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{9}{4}$.