Номер 189, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция y=k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 189, страница 47.

189. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания $a$ см и $b$ см и высотой $20$ см имеет объём, равный $120$ см$^3$. Выразите формулой зависимость $b$ от $a$. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.

Выразите формулой зависимость b от a. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ и $b$ – стороны основания, а $h$ – высота. Согласно условию, объем $V = 120$ см³, а высота $h = 20$ см. Подставим эти данные в формулу:
$120 = a \cdot b \cdot 20$
Для того чтобы выразить зависимость $b$ от $a$, решим уравнение относительно $b$. Разделим обе части на 20:
$a \cdot b = \frac{120}{20}$
$a \cdot b = 6$
Теперь разделим на $a$ (поскольку $a$ - это длина, $a \neq 0$):
$b = \frac{6}{a}$
Ответ: $b = \frac{6}{a}$.

Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Обратная пропорциональность — это зависимость между двумя переменными, которую можно записать в виде $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. Полученная нами формула $b = \frac{6}{a}$ в точности соответствует этому виду. Здесь $y$ — это $b$, $x$ — это $a$, а коэффициент пропорциональности $k = 6$. Это означает, что при увеличении стороны $a$ в несколько раз, сторона $b$ уменьшится во столько же раз, чтобы их произведение оставалось постоянным и равным 6.
Ответ: Да, эта зависимость является обратной пропорциональностью.

Какова область определения этой функции? Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента, в данном случае переменной $a$. С математической точки зрения, в выражении $b = \frac{6}{a}$ знаменатель не может быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. Однако, поскольку $a$ представляет собой длину стороны физического объекта (параллелепипеда), она должна быть положительным числом. Отрицательная длина или длина, равная нулю, не имеет смысла в контексте геометрии. Следовательно, $a > 0$.
Ответ: Область определения функции в данной задаче: $a > 0$, что в виде интервала записывается как $(0; +\infty)$.

Постройте график. Графиком функции $b = \frac{6}{a}$ является гипербола. Так как из области определения мы знаем, что $a > 0$, то и значения $b$ ($b = 6/a$) также будут положительными. Таким образом, график будет расположен в первой координатной четверти. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, удовлетворяющих уравнению: если $a=1$, то $b=6$; если $a=2$, то $b=3$; если $a=3$, то $b=2$; если $a=6$, то $b=1$. Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $b = 6/a$ при $a>0$ представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти (см. график выше).