Номер 196, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция y=k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 196, страница 49.

196. Упростите выражение $\left(\frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{4-x^2}\right) : \frac{x+7}{x-2}$.

Для упрощения выражения сначала выполним действия в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

Знаменатель третьей дроби $ 4-x^2 $ можно представить как $ -(x^2-4) $. Используя формулу разности квадратов, получаем $ x^2-4=(x-2)(x+2) $. Следовательно, $ 4-x^2 = -(x-2)(x+2) $.

Подставим это в выражение в скобках и изменим знак перед третьей дробью:

$ \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{4-x^2} = \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{-(x-2)(x+2)} = \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} + \frac{12}{(x-2)(x+2)} $

Общим знаменателем является выражение $ (x-2)(x+2) $. Приведем дроби к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $ (x-2) $, а второй — на $ (x+2) $.

$ \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{1(x+2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{12}{(x-2)(x+2)} $

Теперь объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{3(x-2) - (x+2) + 12}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x - 6 - x - 2 + 12}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x+4}{(x-2)(x+2)} $

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x+2) $, при условии, что $ x+2 \neq 0 $ (то есть $ x \neq -2 $):

$ \frac{2}{x-2} $

Теперь выполним операцию деления, подставив упрощенное выражение:

$ \frac{2}{x-2} : \frac{x+7}{x-2} $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{2}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x+7} $

Сократим на общий множитель $ (x-2) $, при условии, что $ x-2 \neq 0 $ (то есть $ x \neq 2 $):

$ \frac{2}{x+7} $

Ответ: $ \frac{2}{x+7} $