Номер 197, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 197, страница 52.

197. При каких значениях a и b равенство

$\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

является тождеством?

Для того чтобы данное равенство было тождеством, оно должно выполняться для всех допустимых значений переменной x. Исходное равенство:

$\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}$

Областью допустимых значений для этого равенства являются все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=2$, так как при этих значениях знаменатели обращаются в ноль.

Чтобы найти значения a и b, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:

$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2)}{(x-1)(x-2)} + \frac{b(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

Теперь исходное тождество можно записать так:

$\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

Поскольку это тождество, и знаменатели в обеих частях равны, то числители также должны быть тождественно равны:

$6x = a(x-2) + b(x-1)$

Это равенство должно выполняться при любом значении x. Для нахождения коэффициентов a и b можно подставить в это равенство конкретные значения x. Наиболее удобно использовать значения, которые упрощают выражение, а именно $x=1$ и $x=2$.

1. Подставим значение $x=1$:

$6 \cdot 1 = a(1-2) + b(1-1)$

$6 = a(-1) + b(0)$

$6 = -a$

$a = -6$

2. Подставим значение $x=2$:

$6 \cdot 2 = a(2-2) + b(2-1)$

$12 = a(0) + b(1)$

$12 = b$

Таким образом, мы определили, что равенство является тождеством при $a=-6$ и $b=12$.

Ответ: $a = -6, b = 12$.