Номер 203, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 203, страница 52.

203. Найдите все точки графика функции $y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}$ с целочисленными координатами.

Для того чтобы найти все точки графика функции с целочисленными координатами, необходимо найти все целые значения $x$, при которых соответствующее значение $y$ также является целым числом.

Дана функция: $y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}$.

Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=3$.

Преобразуем выражение, выделив целую часть дроби. Для этого в числителе выделим выражение $(x-3)$.

$x^2 - 6x + 1 = x^2 - 6x + 9 - 8 = (x-3)^2 - 8$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу функции:

$y = \frac{(x-3)^2 - 8}{x - 3} = \frac{(x-3)^2}{x-3} - \frac{8}{x-3}$

После упрощения получаем:

$y = x - 3 - \frac{8}{x - 3}$

По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Так как $x$ - целое число, то выражение $(x-3)$ также является целым. Для того чтобы $y$ было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{8}{x-3}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(x-3)$ является делителем числителя, то есть числа 8. Найдем все целые делители числа 8:

Делители 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Рассмотрим все возможные случаи, приравняв выражение $(x-3)$ к каждому из этих делителей, и найдем соответствующие значения $x$, а затем и $y$.

1. Если $x - 3 = 1$, то $x = 4$.
$y = 4 - 3 - \frac{8}{1} = 1 - 8 = -7$. Получаем точку $(4, -7)$.

2. Если $x - 3 = -1$, то $x = 2$.
$y = 2 - 3 - \frac{8}{-1} = -1 + 8 = 7$. Получаем точку $(2, 7)$.

3. Если $x - 3 = 2$, то $x = 5$.
$y = 5 - 3 - \frac{8}{2} = 2 - 4 = -2$. Получаем точку $(5, -2)$.

4. Если $x - 3 = -2$, то $x = 1$.
$y = 1 - 3 - \frac{8}{-2} = -2 + 4 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.

5. Если $x - 3 = 4$, то $x = 7$.
$y = 7 - 3 - \frac{8}{4} = 4 - 2 = 2$. Получаем точку $(7, 2)$.

6. Если $x - 3 = -4$, то $x = -1$.
$y = -1 - 3 - \frac{8}{-4} = -4 + 2 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.

7. Если $x - 3 = 8$, то $x = 11$.
$y = 11 - 3 - \frac{8}{8} = 8 - 1 = 7$. Получаем точку $(11, 7)$.

8. Если $x - 3 = -8$, то $x = -5$.
$y = -5 - 3 - \frac{8}{-8} = -8 + 1 = -7$. Получаем точку $(-5, -7)$.

Таким образом, мы нашли 8 точек с целочисленными координатами.

Ответ: $(-5, -7)$, $(-1, -2)$, $(1, 2)$, $(2, 7)$, $(4, -7)$, $(5, -2)$, $(7, 2)$, $(11, 7)$.