Номер 205, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 205, страница 52.

205. Найдите все пары натуральных чисел a и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна $\frac{1}{7}$.

По условию задачи требуется найти все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых выполняется равенство:$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7} $$Преобразуем данное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$$ \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{7} $$Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:$$ 7(a+b) = ab $$Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы в дальнейшем разложить выражение на множители:$$ ab - 7a - 7b = 0 $$Для решения этого уравнения в натуральных числах применим метод разложения на множители, известный как "Simon's Favorite Factoring Trick" (Любимый трюк Саймона для разложения на множители). Прибавим к обеим частям уравнения число 49:$$ ab - 7a - 7b + 49 = 49 $$Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:$$ a(b-7) - 7(b-7) = 49 $$$$ (a-7)(b-7) = 49 $$Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то выражения $(a-7)$ и $(b-7)$ являются целыми числами. Их произведение равно 49, следовательно, они должны быть парой целых делителей числа 49.Выпишем все возможные пары целых делителей числа 49:$(1, 49)$, $(7, 7)$, $(49, 1)$, а также отрицательные пары $(-1, -49)$, $(-7, -7)$, $(-49, -1)$.Рассмотрим последовательно каждый случай:

1. Если $a-7=1$ и $b-7=49$, тогда $a = 1+7=8$ и $b = 49+7=56$. Пара $(8, 56)$ состоит из натуральных чисел, значит, она является решением.
2. Если $a-7=7$ и $b-7=7$, тогда $a = 7+7=14$ и $b = 7+7=14$. Пара $(14, 14)$ состоит из натуральных чисел и также является решением.
3. Если $a-7=49$ и $b-7=1$, тогда $a = 49+7=56$ и $b = 1+7=8$. Пара $(56, 8)$ состоит из натуральных чисел и является решением.
4. Если $a-7=-1$ и $b-7=-49$, тогда $a = -1+7=6$ и $b = -49+7=-42$. Так как $b$ — не натуральное число, эта пара не является решением.
5. Если $a-7=-7$ и $b-7=-7$, тогда $a = -7+7=0$ и $b = -7+7=0$. Ноль не является натуральным числом, поэтому эта пара не является решением.
6. Если $a-7=-49$ и $b-7=-1$, тогда $a = -49+7=-42$ и $b = -1+7=6$. Так как $a$ — не натуральное число, эта пара не является решением.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты и нашли все пары натуральных чисел $a$ и $b$, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: $(8, 56)$, $(14, 14)$, $(56, 8)$.