Страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

195. (Задача-исследование.) При каких значениях a и b является тождеством равенство $ \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} $?

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

Чтобы данное равенство было тождеством, оно должно выполняться для всех допустимых значений переменной $x$. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного равенства: $x \ne 5$ и $x \ne -2$.

Для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$ необходимо выполнить следующие преобразования:

1. Привести дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x-5)(x+2)$.
2. После приведения к общему знаменателю правая часть примет вид дроби, знаменатель которой совпадает со знаменателем левой части.
3. Воспользоваться условием равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями: если дроби равны, то их числители также должны быть равны для всех $x$ из ОДЗ.
4. Приравнять числители левой и правой частей. В результате получится равенство двух многочленов.
5. Воспользоваться условием тождественного равенства двух многочленов: два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
6. Приравняв коэффициенты при $x$ и свободные члены, мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$, решив которую, найдем искомые значения.

Ответ: Необходимо привести правую часть к общему знаменателю, приравнять числители получившихся дробей и, используя условие равенства многочленов, составить и решить систему уравнений относительно $a$ и $b$.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

Исходное тождество:

$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $(x - 5)(x + 2)$:

$\frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2} = \frac{a(x + 2)}{(x - 5)(x + 2)} + \frac{b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a(x + 2) + b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)}$

Теперь приравняем числители левой и правой частей:

$5x + 31 = a(x + 2) + b(x - 5)$

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

$5x + 31 = ax + 2a + bx - 5b$

$5x + 31 = (a + b)x + (2a - 5b)$

Для того чтобы это равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях должны быть равны. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 5 & \text{(коэффициенты при } x\text{)} \\ 2a - 5b = 31 & \text{(свободные члены)} \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 5 - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(5 - b) - 5b = 31$

$10 - 2b - 5b = 31$

$10 - 7b = 31$

$-7b = 31 - 10$

$-7b = 21$

$b = -3$

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 5 - b$:

$a = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$

Ответ: В результате преобразований получена система уравнений $\begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - 5b = 31 \end{cases}$. Ее решение: $a = 8$, $b = -3$.

3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

Данное равенство является тождеством при значениях $a = 8$ и $b = -3$.

Выполним проверку. Подставим найденные значения $a$ и $b$ в правую часть исходного равенства и упростим ее:

$\frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2} = \frac{8}{x - 5} + \frac{-3}{x + 2} = \frac{8}{x - 5} - \frac{3}{x + 2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{8(x + 2) - 3(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{8x + 16 - 3x + 15}{(x - 5)(x + 2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(8x - 3x) + (16 + 15)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)}$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, найденные значения $a$ и $b$ верны.

Ответ: Равенство является тождеством при $a = 8$ и $b = -3$. Проверка подтвердила правильность найденных значений.

196. Упростите выражение $\left(\frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{4-x^2}\right) : \frac{x+7}{x-2}$.

Для упрощения выражения сначала выполним действия в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

Знаменатель третьей дроби $ 4-x^2 $ можно представить как $ -(x^2-4) $. Используя формулу разности квадратов, получаем $ x^2-4=(x-2)(x+2) $. Следовательно, $ 4-x^2 = -(x-2)(x+2) $.

Подставим это в выражение в скобках и изменим знак перед третьей дробью:

$ \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{4-x^2} = \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{-(x-2)(x+2)} = \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} + \frac{12}{(x-2)(x+2)} $

Общим знаменателем является выражение $ (x-2)(x+2) $. Приведем дроби к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $ (x-2) $, а второй — на $ (x+2) $.

$ \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{1(x+2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{12}{(x-2)(x+2)} $

Теперь объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{3(x-2) - (x+2) + 12}{(x-2)(x+2)} = \frac{3x - 6 - x - 2 + 12}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x+4}{(x-2)(x+2)} $

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x+2) $, при условии, что $ x+2 \neq 0 $ (то есть $ x \neq -2 $):

$ \frac{2}{x-2} $

Теперь выполним операцию деления, подставив упрощенное выражение:

$ \frac{2}{x-2} : \frac{x+7}{x-2} $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{2}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x+7} $

Сократим на общий множитель $ (x-2) $, при условии, что $ x-2 \neq 0 $ (то есть $ x \neq 2 $):

$ \frac{2}{x+7} $

Ответ: $ \frac{2}{x+7} $

Сформулируйте правила умножения и деления дробей.

Правило умножения дробей

Чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо выполнить следующие действия:

1. Перемножить числители этих дробей – полученное произведение станет числителем новой дроби.
2. Перемножить знаменатели этих дробей – полученное произведение станет знаменателем новой дроби.
3. Если возможно, сократить полученную дробь.

В общем виде правило умножения дробей можно записать с помощью формулы:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Пример 1: Умножим дробь $\frac{3}{5}$ на дробь $\frac{2}{7}$:

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35}$

Пример 2 (с сокращением): Для упрощения вычислений, если это возможно, рекомендуется выполнять сокращение до перемножения. Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{3}{8}$.

Запишем произведение под общей чертой: $\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8}$.

Здесь можно сократить числитель 4 и знаменатель 8 на их общий делитель 4 (получим 1 и 2). Также можно сократить числитель 3 и знаменатель 9 на их общий делитель 3 (получим 1 и 3). В результате вычисление выглядит так:

$\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

Ответ: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и записать результат в числитель новой дроби, а также перемножить их знаменатели и записать результат в знаменатель новой дроби.

Правило деления дробей

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Дробь, обратная данной, получается путем замены числителя и знаменателя местами.

Таким образом, операция деления заменяется на операцию умножения по следующему алгоритму:

1. Первую дробь (делимое) оставить без изменений.
2. Знак деления заменить на знак умножения.
3. Вторую дробь (делитель) "перевернуть", то есть найти обратную ей.
4. Выполнить умножение полученных дробей по правилу умножения.

В общем виде правило деления дробей можно записать с помощью формулы:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример 1: Разделим дробь $\frac{1}{2}$ на дробь $\frac{3}{5}$:

$\frac{1}{2} \div \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$

Пример 2 (с сокращением): Разделим $\frac{5}{8}$ на $\frac{15}{16}$.

Заменяем деление на умножение на обратную дробь: $\frac{5}{8} \cdot \frac{16}{15}$.

Записываем под общей чертой: $\frac{5 \cdot 16}{8 \cdot 15}$.

Сокращаем 5 и 15 на 5 (получаем 1 и 3). Сокращаем 16 и 8 на 8 (получаем 2 и 1). Вычисление выглядит так:

$\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (второй дроби).

3 Какая функция называется обратной пропорциональностью?

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ — не равное нулю число, которое называют коэффициентом обратной пропорциональности ($k \neq 0$).

Из определения следует, что область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как деление на ноль не определено. Записывается это так: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений функции также исключает ноль: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Основное свойство обратной пропорциональности заключается в том, что при увеличении модуля аргумента ($|x|$) в несколько раз, модуль значения функции ($|y|$) уменьшается во столько же раз, и наоборот. Например, если увеличить $x$ в 2 раза, то $y$ уменьшится в 2 раза.

Графиком функции обратной пропорциональности является кривая, которая называется гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей, расположенных в разных координатных четвертях:

• Если $k > 0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Обратной пропорциональностью называется функция, задаваемая формулой $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — переменная, а $k$ — отличное от нуля число.

2. Сформулируйте правило возведения дроби в степень.

Правило возведения дроби в степень является одним из основных свойств степеней. Оно заключается в следующем: чтобы возвести дробь в некоторую степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби по отдельности.

Это правило можно выразить с помощью формулы. Пусть у нас есть дробь $ \frac{a}{b} $ (где знаменатель $ b \neq 0 $) и мы хотим возвести её в натуральную степень $n$. Тогда:

$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $

Это правило легко доказывается, исходя из определения степени как многократного умножения. Возведение дроби в степень $n$ означает, что мы умножаем эту дробь саму на себя $n$ раз:

$ (\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ множителей}} $

По правилу умножения дробей, мы должны перемножить все числители и перемножить все знаменатели:

$ \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ множителей}}} = \frac{a^n}{b^n} $

Пример:

Возведем дробь $ \frac{3}{4} $ в квадрат (во вторую степень).

$ (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $

Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель, а затем первый результат записать как числитель новой дроби, а второй — как её знаменатель.

4 В каких координатных четвертях расположен график функции $y = -\frac{k}{x}$ при $k > 0$? при $k < 0$?

Данная функция $y = \frac{k}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность. Графиком этой функции является гипербола, состоящая из двух ветвей. Расположение этих ветвей на координатной плоскости определяется знаком коэффициента $k$.

Чтобы определить, в каких координатных четвертях находится график, необходимо проанализировать знаки координат $x$ и $y$. Вспомним, как знаки координат определяют четверть:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

Из уравнения функции $y = \frac{k}{x}$ можно выразить произведение координат: $x \cdot y = k$ (при условии, что $x \neq 0$). Это означает, что знак произведения координат $x$ и $y$ всегда совпадает со знаком коэффициента $k$.

при k > 0?

Если коэффициент $k$ является положительным числом ($k > 0$), то и произведение $x \cdot y$ должно быть положительным. Произведение двух чисел положительно в том и только в том случае, если оба числа имеют одинаковый знак.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Обе координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$. Точки с такими координатами располагаются в I (первой) координатной четверти.
2. Обе координаты отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$. Точки с такими координатами располагаются в III (третьей) координатной четверти.

Таким образом, при $k > 0$ ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

при k < 0?

Если коэффициент $k$ является отрицательным числом ($k < 0$), то и произведение $x \cdot y$ должно быть отрицательным. Произведение двух чисел отрицательно в том и только в том случае, если числа имеют разные знаки.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Координата $x$ отрицательна, а координата $y$ положительна: $x < 0$ и $y > 0$. Точки с такими координатами располагаются во II (второй) координатной четверти.
2. Координата $x$ положительна, а координата $y$ отрицательна: $x > 0$ и $y < 0$. Точки с такими координатами располагаются в IV (четвертой) координатной четверти.

Таким образом, при $k < 0$ ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.