Страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

231. Упростите выражение:

а) $\frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3} - \frac{4y-18}{y^2-9};$

б) $\frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} - \frac{4a^2+9}{4a^2-9};$

в) $\frac{4m}{4m^2-1} - \frac{2m+1}{6m-3} + \frac{2m-1}{4m+2};$

г) $\frac{1}{(x+y)^2} - \frac{2}{x^2-y^2} + \frac{1}{(x-y)^2};$

д) $\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1};$

е) $\frac{x-y}{x^2+xy+y^2} - \frac{3xy}{x^3-y^3} + \frac{1}{x-y}.$

а) $\frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3} - \frac{4y-18}{y^2-9}$

Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель третьей дроби $y^2-9$ является разностью квадратов: $y^2-9 = (y-3)(y+3)$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(y-3)(y+3)$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

$\frac{5}{y-3} = \frac{5(y+3)}{(y-3)(y+3)}$

$\frac{1}{y+3} = \frac{1(y-3)}{(y-3)(y+3)}$

Теперь выполним сложение и вычитание дробей:

$\frac{5(y+3)}{(y-3)(y+3)} + \frac{y-3}{(y-3)(y+3)} - \frac{4y-18}{(y-3)(y+3)} = \frac{5(y+3) + (y-3) - (4y-18)}{(y-3)(y+3)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{5y + 15 + y - 3 - 4y + 18}{(y-3)(y+3)} = \frac{(5y+y-4y) + (15-3+18)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2y+30}{y^2-9}$

Числитель можно разложить на множители: $2y+30 = 2(y+15)$.

$\frac{2(y+15)}{y^2-9}$. Сократить дробь нельзя.

Ответ: $\frac{2y+30}{y^2-9}$.

б) $\frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} - \frac{4a^2+9}{4a^2-9}$

Разложим знаменатели на множители. Заметим, что $3-2a = -(2a-3)$ и $4a^2-9 = (2a-3)(2a+3)$.

Преобразуем выражение, изменив знак у второй дроби:

$\frac{2a}{2a+3} - \frac{5}{2a-3} - \frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)}$

Общий знаменатель: $(2a-3)(2a+3)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a(2a-3)}{(2a+3)(2a-3)} - \frac{5(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)} - \frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)}$

Объединим дроби:

$\frac{2a(2a-3) - 5(2a+3) - (4a^2+9)}{(2a-3)(2a+3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{4a^2 - 6a - 10a - 15 - 4a^2 - 9}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{(4a^2-4a^2) + (-6a-10a) + (-15-9)}{4a^2-9} = \frac{-16a-24}{4a^2-9}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{-8(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)}$

Сократим дробь на $(2a+3)$:

$\frac{-8}{2a-3} = \frac{8}{-(2a-3)} = \frac{8}{3-2a}$

Ответ: $\frac{8}{3-2a}$.

в) $\frac{4m}{4m^2-1} - \frac{2m+1}{6m-3} + \frac{2m-1}{4m+2}$

Разложим знаменатели на множители:

$4m^2-1 = (2m-1)(2m+1)$

$6m-3 = 3(2m-1)$

$4m+2 = 2(2m+1)$

Общий знаменатель: $3 \cdot 2 \cdot (2m-1)(2m+1) = 6(2m-1)(2m+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4m \cdot 6}{6(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m+1) \cdot 2(2m+1)}{6(2m-1)(2m+1)} + \frac{(2m-1) \cdot 3(2m-1)}{6(2m-1)(2m+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{24m - 2(2m+1)^2 + 3(2m-1)^2}{6(4m^2-1)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{24m - 2(4m^2+4m+1) + 3(4m^2-4m+1)}{6(4m^2-1)} = \frac{24m - 8m^2 - 8m - 2 + 12m^2 - 12m + 3}{6(4m^2-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(-8m^2+12m^2) + (24m-8m-12m) + (-2+3)}{6(4m^2-1)} = \frac{4m^2+4m+1}{6(4m^2-1)}$

Числитель является полным квадратом: $4m^2+4m+1 = (2m+1)^2$.

$\frac{(2m+1)^2}{6(2m-1)(2m+1)}$

Сократим дробь на $(2m+1)$:

$\frac{2m+1}{6(2m-1)}$

Ответ: $\frac{2m+1}{6(2m-1)}$.

г) $\frac{1}{(x+y)^2} - \frac{2}{x^2-y^2} + \frac{1}{(x-y)^2}$

Разложим средний знаменатель на множители: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Общий знаменатель: $(x-y)^2(x+y)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{2 \cdot (x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)} + \frac{1 \cdot (x+y)^2}{(x-y)^2(x+y)^2}$

$\frac{(x-y)^2 - 2(x-y)(x+y) + (x+y)^2}{(x-y)^2(x+y)^2}$

Числитель представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=(x-y)$ и $b=(x+y)$.

Свернем числитель по этой формуле:

$\frac{((x-y)-(x+y))^2}{((x-y)(x+y))^2} = \frac{(x-y-x-y)^2}{(x^2-y^2)^2} = \frac{(-2y)^2}{(x^2-y^2)^2} = \frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2}$

Ответ: $\frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2}$.

д) $\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов: $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Общий знаменатель: $(a-1)(a^2+a+1) = a^3-1$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1} - \frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(4a^2+3a+2) - (1-2a)(a-1)}{a^3-1}$

Раскроем скобки в числителе:

$(1-2a)(a-1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2+3a-1$.

$\frac{4a^2+3a+2 - (-2a^2+3a-1)}{a^3-1} = \frac{4a^2+3a+2+2a^2-3a+1}{a^3-1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4a^2+2a^2) + (3a-3a) + (2+1)}{a^3-1} = \frac{6a^2+3}{a^3-1}$

Ответ: $\frac{6a^2+3}{a^3-1}$.

е) $\frac{x-y}{x^2+xy+y^2} - \frac{3xy}{x^3-y^3} + \frac{1}{x-y}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Общий знаменатель: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} - \frac{3xy}{x^3-y^3} + \frac{1(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$

$\frac{(x-y)^2 - 3xy + (x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2-2xy+y^2 - 3xy + x^2+xy+y^2}{x^3-y^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^2+x^2) + (-2xy-3xy+xy) + (y^2+y^2)}{x^3-y^3} = \frac{2x^2-4xy+2y^2}{x^3-y^3}$

Вынесем общий множитель в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:

$\frac{2(x^2-2xy+y^2)}{x^3-y^3} = \frac{2(x-y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$

Сократим дробь на $(x-y)$:

$\frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2}$

Ответ: $\frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2}$.

233. Упростите выражение:

а) $ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $

б) $ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} $

а)

Для упрощения выражения $ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $ приведем знаменатели к общему виду, используя свойство $x-y = -(y-x)$.

Преобразуем вторую и третью дроби, чтобы множители в знаменателях были одинаковыми:

$ \frac{1}{b(b-c)(b-a)} = \frac{1}{b(b-c)(-(a-b))} = -\frac{1}{b(a-b)(b-c)} $

$ \frac{1}{c(c-a)(c-b)} = \frac{1}{c(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $

После преобразования исходное выражение принимает вид:

$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $abc(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$ \frac{bc(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Объединим дроби, записав числители под общей дробной чертой:

$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Теперь упростим числитель. Сначала раскроем скобки:

$ b^2c - bc^2 - (a^2c - ac^2) + a^2b - ab^2 = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$ и разложим на множители:

$ a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) = a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) $

Вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки:

$ (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) $

Разложим на множители выражение во второй скобке:

$ (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c) $

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$ \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$ \frac{1}{abc} $

Ответ: $ \frac{1}{abc} $.

б)

Для упрощения выражения $ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} $ приведем знаменатели к общему виду, используя свойство $a-b = -(b-a)$.

Преобразуем вторую и третью дроби:

$ \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} = \frac{y^2}{-(x-y)(y-z)} = -\frac{y^2}{(x-y)(y-z)} $

$ \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} = \frac{z^2}{(-(x-z))(-(y-z))} = \frac{z^2}{(x-z)(y-z)} $

Выражение принимает вид:

$ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-z)} + \frac{z^2}{(x-z)(y-z)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $(x-y)(x-z)(y-z)$. Приведем все дроби к нему:

$ \frac{x^2(y-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} - \frac{y^2(x-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} + \frac{z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{x^2(y-z) - y^2(x-z) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Упростим числитель. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$ x^2y - x^2z - y^2x + y^2z + z^2x - z^2y = x^2(y-z) - x(y^2-z^2) + yz(y-z) $

Разложим на множители, вынося общие множители за скобки:

$ x^2(y-z) - x(y-z)(y+z) + yz(y-z) = (y-z)(x^2 - x(y+z) + yz) $

Разложим на множители выражение во второй скобке:

$ (y-z)(x^2 - xy - xz + yz) = (y-z)(x(x-y) - z(x-y)) = (y-z)(x-y)(x-z) $

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$ \frac{(x-y)(x-z)(y-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Так как числитель и знаменатель равны, их частное равно 1.

Ответ: 1.

235. При каком значении a тождественно равны выражения:

а) $ \frac{2x}{x+3} $ и $ 2 + \frac{a}{x+3} $;

б) $ \frac{x}{x-5} $ и $ 1 + \frac{a}{x-5} $;

в) $ \frac{2x}{3-x} $ и $ \frac{a}{3-x} - 2 $;

г) $ \frac{x+2}{5-x} $ и $ \frac{a}{5-x} - 1 $?

Чтобы два выражения были тождественно равны, они должны быть равны для всех допустимых значений переменной x. Это означает, что после приведения к общему знаменателю и упрощения, числители этих выражений должны быть равны.

а)

Даны выражения $\frac{2x}{x+3}$ и $2 + \frac{a}{x+3}$.

Приравняем их:

$\frac{2x}{x+3} = 2 + \frac{a}{x+3}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $x+3$:

$2 + \frac{a}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{a}{x+3} = \frac{2x+6+a}{x+3}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{2x}{x+3} = \frac{2x+6+a}{x+3}$

Поскольку знаменатели равны, приравниваем числители:

$2x = 2x + 6 + a$

Вычтем $2x$ из обеих частей уравнения:

$0 = 6 + a$

$a = -6$

Ответ: $a = -6$.

б)

Даны выражения $\frac{x}{x-5}$ и $1 + \frac{a}{x-5}$.

Приравняем их:

$\frac{x}{x-5} = 1 + \frac{a}{x-5}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $x-5$:

$1 + \frac{a}{x-5} = \frac{1(x-5)}{x-5} + \frac{a}{x-5} = \frac{x-5+a}{x-5}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{x}{x-5} = \frac{x-5+a}{x-5}$

Приравниваем числители:

$x = x - 5 + a$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$0 = -5 + a$

$a = 5$

Ответ: $a = 5$.

в)

Даны выражения $\frac{2x}{3-x}$ и $\frac{a}{3-x} - 2$.

Приравняем их:

$\frac{2x}{3-x} = \frac{a}{3-x} - 2$

Приведем правую часть к общему знаменателю $3-x$:

$\frac{a}{3-x} - 2 = \frac{a}{3-x} - \frac{2(3-x)}{3-x} = \frac{a - 2(3-x)}{3-x} = \frac{a - 6 + 2x}{3-x}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{2x}{3-x} = \frac{a - 6 + 2x}{3-x}$

Приравниваем числители:

$2x = a - 6 + 2x$

Вычтем $2x$ из обеих частей:

$0 = a - 6$

$a = 6$

Ответ: $a = 6$.

г)

Даны выражения $\frac{x+2}{5-x}$ и $\frac{a}{5-x} - 1$.

Приравняем их:

$\frac{x+2}{5-x} = \frac{a}{5-x} - 1$

Приведем правую часть к общему знаменателю $5-x$:

$\frac{a}{5-x} - 1 = \frac{a}{5-x} - \frac{1(5-x)}{5-x} = \frac{a-(5-x)}{5-x} = \frac{a-5+x}{5-x}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{x+2}{5-x} = \frac{a-5+x}{5-x}$

Приравниваем числители:

$x + 2 = a - 5 + x$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$2 = a - 5$

$a = 2 + 5$

$a = 7$

Ответ: $a = 7$.

237. При каких целых $n$ значение дроби является целым числом:

а) $ \frac{5n^2+2n+3}{n} $;

б) $ \frac{(n-3)^2}{n} $;

в) $ \frac{3n}{n+2} $;

г) $ \frac{7n}{n-4} $?

а)

Чтобы значение дроби $\frac{5n^2 + 2n + 3}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. При этом $n$ — целое число, не равное нулю ($n \neq 0$).Преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:$\frac{5n^2 + 2n + 3}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = 5n + 2 + \frac{3}{n}$.

Так как $n$ — целое число, выражение $5n + 2$ также является целым числом. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{3}{n}$ было целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 3.

Целые делители числа 3: $1, -1, 3, -3$.

Ответ: -3, -1, 1, 3.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{(n-3)^2}{n}$, где $n$ — целое число и $n \neq 0$.Сначала раскроем квадрат в числителе: $(n-3)^2 = n^2 - 6n + 9$.Теперь подставим это в дробь и разделим почленно:$\frac{n^2 - 6n + 9}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{6n}{n} + \frac{9}{n} = n - 6 + \frac{9}{n}$.

Выражение $n - 6$ является целым, так как $n$ — целое. Значит, для целочисленности всей дроби необходимо, чтобы $\frac{9}{n}$ было целым числом. Это означает, что $n$ должно быть делителем числа 9.

Целые делители числа 9: $1, -1, 3, -3, 9, -9$.

Ответ: -9, -3, -1, 1, 3, 9.

в)

Чтобы значение дроби $\frac{3n}{n+2}$ было целым числом, преобразуем её, выделив целую часть. Условие: $n+2 \neq 0$, то есть $n \neq -2$.Представим числитель $3n$ в виде, содержащем знаменатель $(n+2)$: $3n = 3(n+2) - 6$.Тогда дробь примет вид:$\frac{3(n+2) - 6}{n+2} = \frac{3(n+2)}{n+2} - \frac{6}{n+2} = 3 - \frac{6}{n+2}$.

Число 3 является целым. Следовательно, выражение будет целым, если дробь $\frac{6}{n+2}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $(n+2)$ является делителем числителя 6.

Целые делители числа 6: $1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6$.Приравняем $(n+2)$ к каждому из этих делителей и найдем $n$:
$n+2 = 1 \implies n = -1$
$n+2 = -1 \implies n = -3$
$n+2 = 2 \implies n = 0$
$n+2 = -2 \implies n = -4$
$n+2 = 3 \implies n = 1$
$n+2 = -3 \implies n = -5$
$n+2 = 6 \implies n = 4$
$n+2 = -6 \implies n = -8$

Ответ: -8, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 4.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{7n}{n-4}$. Условие: $n-4 \neq 0$, то есть $n \neq 4$.Выделим целую часть, представив числитель $7n$ через знаменатель $(n-4)$: $7n = 7(n-4) + 28$.Подставим в дробь:$\frac{7(n-4) + 28}{n-4} = \frac{7(n-4)}{n-4} + \frac{28}{n-4} = 7 + \frac{28}{n-4}$.

Так как 7 — целое число, вся сумма будет целой, если дробь $\frac{28}{n-4}$ будет целой. Это означает, что знаменатель $(n-4)$ должен быть делителем числителя 28.

Целые делители числа 28: $1, -1, 2, -2, 4, -4, 7, -7, 14, -14, 28, -28$.Приравняем $(n-4)$ к каждому из этих делителей и найдем $n$:
$n-4 = 1 \implies n = 5$
$n-4 = -1 \implies n = 3$
$n-4 = 2 \implies n = 6$
$n-4 = -2 \implies n = 2$
$n-4 = 4 \implies n = 8$
$n-4 = -4 \implies n = 0$
$n-4 = 7 \implies n = 11$
$n-4 = -7 \implies n = -3$
$n-4 = 14 \implies n = 18$
$n-4 = -14 \implies n = -10$
$n-4 = 28 \implies n = 32$
$n-4 = -28 \implies n = -24$

Ответ: -24, -10, -3, 0, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 18, 32.

232. Докажите, что тождественно равны выражения $ \frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)} $ и $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $.

Чтобы доказать, что данные выражения тождественно равны, необходимо упростить первое, более сложное выражение, и показать, что оно равно второму.

Исходное выражение:

$\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей с знаменателями $(a - b)(x + y)$ и $(a + b)(x + y)$ будет $(a - b)(a + b)(x + y)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(a + b)$, а второй — на $(a - b)$:

$\frac{(ax + by)(a + b)}{(a - b)(a + b)(x + y)} - \frac{(bx - ay)(a - b)}{(a + b)(a - b)(x + y)}$

Теперь выполним вычитание дробей. В знаменателе используем формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$\frac{(ax + by)(a + b) - (bx - ay)(a - b)}{(a^2 - b^2)(x + y)}$

Раскроем скобки в числителе. Сначала раскроем каждое произведение отдельно:

$(ax + by)(a + b) = ax \cdot a + ax \cdot b + by \cdot a + by \cdot b = a^2x + abx + aby + b^2y$

$(bx - ay)(a - b) = bx \cdot a + bx \cdot (-b) - ay \cdot a - ay \cdot (-b) = abx - b^2x - a^2y + aby$

Подставим полученные выражения в числитель дроби:

$(a^2x + abx + aby + b^2y) - (abx - b^2x - a^2y + aby)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знак каждого слагаемого на противоположный:

$a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby$

Приведем подобные слагаемые. Члены $abx$ и $aby$ взаимно уничтожаются:

$(abx - abx) + (aby - aby) + a^2x + b^2x + a^2y + b^2y = a^2x + b^2x + a^2y + b^2y$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^2x + b^2x) + (a^2y + b^2y) = x(a^2 + b^2) + y(a^2 + b^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^2 + b^2)$:

$(x + y)(a^2 + b^2)$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(x + y)(a^2 + b^2)}{(a^2 - b^2)(x + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + y)$. Это возможно, так как в области определения исходного выражения $x+y \neq 0$.

$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

Полученное выражение в точности совпадает со вторым выражением. Следовательно, исходные выражения тождественно равны.

Ответ: В результате упрощения выражения $\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)}$ было получено выражение $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$, что и доказывает тождественное равенство данных выражений.

234. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:

а) $\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3}$;

б) $\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5}$;

в) $\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6}$;

г) $\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}$.

а)

Чтобы представить дробь $\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3}$ в виде суммы целого выражения и дроби, выделим в числителе слагаемое, которое делится на знаменатель $(x-3)$ без остатка. Для этого сгруппируем первые два члена и вынесем $x$ за скобки:

$\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3} = \frac{(x^2 - 3x) + 6}{x - 3} = \frac{x(x - 3) + 6}{x - 3}$

Теперь разделим полученное выражение почленно на знаменатель:

$\frac{x(x - 3)}{x - 3} + \frac{6}{x - 3} = x + \frac{6}{x - 3}$

Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы целого выражения $x$ и дроби $\frac{6}{x - 3}$.

Ответ: $x + \frac{6}{x - 3}$

б)

Представим дробь $\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5}$. Сгруппируем первые два члена в числителе и вынесем $y$ за скобки, чтобы выделить множитель $(y+5)$:

$\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5} = \frac{(y^2 + 5y) - 8}{y + 5} = \frac{y(y + 5) - 8}{y + 5}$

Разделим почленно на знаменатель $(y+5)$:

$\frac{y(y + 5)}{y + 5} - \frac{8}{y + 5} = y - \frac{8}{y + 5}$

Исходная дробь представлена в виде разности целого выражения $y$ и дроби $\frac{8}{y + 5}$.

Ответ: $y - \frac{8}{y + 5}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6}$. Чтобы выделить в числителе множитель $(a+6)$, представим $7a$ как $6a+a$:

$\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6} = \frac{a^2 + 6a + a + 2}{a + 6} = \frac{(a^2 + 6a) + (a + 2)}{a + 6} = \frac{a(a + 6) + (a + 2)}{a + 6}$

Разделим почленно на знаменатель:

$\frac{a(a + 6)}{a + 6} + \frac{a + 2}{a + 6} = a + \frac{a + 2}{a + 6}$

Теперь преобразуем оставшуюся дробь, выделив в её числителе знаменатель $(a+6)$:

$a + \frac{a + 6 - 4}{a + 6} = a + \left(\frac{a + 6}{a + 6} - \frac{4}{a + 6}\right) = a + \left(1 - \frac{4}{a + 6}\right) = a + 1 - \frac{4}{a + 6}$

Дробь представлена в виде разности целого выражения $(a+1)$ и дроби $\frac{4}{a + 6}$.

Ответ: $a + 1 - \frac{4}{a + 6}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}$. Преобразуем числитель, чтобы выделить множитель $(b-3)$. Для этого будем последовательно выделять целую часть. Сначала выделим множитель $(b-3)$ из слагаемого $3b^2$:

$\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3} = \frac{3b(b - 3) + 9b - 10b - 1}{b - 3} = \frac{3b(b - 3) - b - 1}{b - 3}$

Теперь разделим почленно на знаменатель:

$\frac{3b(b-3)}{b-3} + \frac{-b-1}{b-3} = 3b + \frac{-b-1}{b-3}$

Преобразуем оставшуюся дробь. Выделим в числителе $(-b-1)$ выражение $(b-3)$:

$\frac{-b-1}{b-3} = \frac{-(b+1)}{b-3} = \frac{-(b-3+4)}{b-3} = \frac{-(b-3)-4}{b-3} = \frac{-(b-3)}{b-3} - \frac{4}{b-3} = -1 - \frac{4}{b-3}$

Подставим это в наше выражение:

$3b + \left(-1 - \frac{4}{b-3}\right) = 3b - 1 - \frac{4}{b - 3}$

Исходная дробь представлена в виде разности целого выражения $(3b-1)$ и дроби $\frac{4}{b-3}$.

Ответ: $3b - 1 - \frac{4}{b - 3}$

236. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:

а) $\frac{5x}{x+2}$;

б) $\frac{-2x}{x-1}$;

в) $\frac{2x}{5-x}$;

г) $\frac{x-3}{2-x}$.

а) Чтобы представить дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби, нужно выделить целую часть. Для этого преобразуем числитель так, чтобы в нем содержалось выражение, кратное знаменателю.

Знаменатель дроби $\frac{5x}{x+2}$ равен $x+2$. Представим числитель $5x$ следующим образом: добавим и вычтем такое число, чтобы можно было вынести за скобку множитель 5 и получить в скобках выражение $x+2$.

$5x = 5x + 10 - 10 = 5(x+2) - 10$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и разделим ее на две части:

$\frac{5x}{x+2} = \frac{5(x+2) - 10}{x+2} = \frac{5(x+2)}{x+2} - \frac{10}{x+2}$

После сокращения первой дроби получаем:

$5 - \frac{10}{x+2}$

Таким образом, мы представили исходную дробь в виде разности целого выражения 5 и дроби $\frac{10}{x+2}$.

Ответ: $5 - \frac{10}{x+2}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{-2x}{x-1}$. Знаменатель равен $x-1$.

Преобразуем числитель $-2x$, чтобы выделить в нем выражение, кратное знаменателю. Для этого добавим и вычтем 2:

$-2x = -2x + 2 - 2 = -2(x-1) - 2$

Подставим полученное выражение в числитель дроби и разделим ее:

$\frac{-2x}{x-1} = \frac{-2(x-1) - 2}{x-1} = \frac{-2(x-1)}{x-1} - \frac{2}{x-1}$

Сократив первую дробь, получим:

$-2 - \frac{2}{x-1}$

Мы получили разность целого выражения $-2$ и дроби $\frac{2}{x-1}$.

Ответ: $-2 - \frac{2}{x-1}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{2x}{5-x}$. Знаменатель равен $5-x$.

Выделим в числителе $2x$ выражение, кратное знаменателю. Заметим, что $-2(5-x) = -10 + 2x$. Отсюда можно выразить $2x$:

$2x = -2(5-x) + 10$

Подставим это выражение в числитель и разделим дробь:

$\frac{2x}{5-x} = \frac{-2(5-x) + 10}{5-x} = \frac{-2(5-x)}{5-x} + \frac{10}{5-x}$

После сокращения получаем:

$-2 + \frac{10}{5-x}$

В результате мы представили дробь в виде суммы целого выражения $-2$ и дроби $\frac{10}{5-x}$.

Ответ: $-2 + \frac{10}{5-x}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{x-3}{2-x}$. Знаменатель равен $2-x$.

Преобразуем числитель $x-3$ так, чтобы выделить в нем знаменатель $2-x$. Для этого представим числитель в следующем виде:

$x - 3 = x - 2 - 1 = -(2-x) - 1$

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{x-3}{2-x} = \frac{-(2-x) - 1}{2-x}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{-(2-x)}{2-x} - \frac{1}{2-x} = -1 - \frac{1}{2-x}$

Таким образом, мы представили дробь в виде разности целого выражения $-1$ и дроби $\frac{1}{2-x}$.

Ответ: $-1 - \frac{1}{2-x}$

238. Найдите такие значения a и b, при которых выполняется тождество:

a) $ \frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} $

б) $ \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2} $

а) Чтобы равенство $\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}$ было тождеством, необходимо, чтобы оно выполнялось для всех допустимых значений $x$. Для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$ приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:
$\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3)}{(x-2)(x+3)} + \frac{b(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)}$
Теперь мы можем приравнять числители левой и правой частей исходного уравнения, так как их знаменатели равны:
$5x = a(x+3) + b(x-2)$
Это равенство должно быть верным для любого значения $x$. Для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ можно подставить в это равенство конкретные значения $x$. Удобнее всего выбирать значения, которые обнуляют один из множителей в скобках.
1. Подставим $x=2$:
$5 \cdot 2 = a(2+3) + b(2-2)$
$10 = a \cdot 5 + b \cdot 0$
$10 = 5a$
$a = 2$
2. Подставим $x=-3$:
$5 \cdot (-3) = a(-3+3) + b(-3-2)$
$-15 = a \cdot 0 + b \cdot (-5)$
$-15 = -5b$
$b = 3$
Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.
Ответ: $a=2, b=3$.

б) Решим второе тождество $\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2}$ аналогичным методом.
Сначала приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2)}{(x-5)(x+2)} - \frac{b(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) - b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$
Приравниваем числители:
$5x+31 = a(x+2) - b(x-5)$
Данное равенство является тождеством. Подставим в него значения $x$, которые являются корнями знаменателя.
1. Подставим $x=5$:
$5 \cdot 5 + 31 = a(5+2) - b(5-5)$
$25 + 31 = a \cdot 7 - b \cdot 0$
$56 = 7a$
$a = 8$
2. Подставим $x=-2$:
$5 \cdot (-2) + 31 = a(-2+2) - b(-2-5)$
$-10 + 31 = a \cdot 0 - b \cdot (-7)$
$21 = 7b$
$b = 3$
Мы нашли значения $a$ и $b$, при которых выполняется тождество.
Ответ: $a=8, b=3$.