Номер 231, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 231, страница 56.

231. Упростите выражение:

а) $\frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3} - \frac{4y-18}{y^2-9};$

б) $\frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} - \frac{4a^2+9}{4a^2-9};$

в) $\frac{4m}{4m^2-1} - \frac{2m+1}{6m-3} + \frac{2m-1}{4m+2};$

г) $\frac{1}{(x+y)^2} - \frac{2}{x^2-y^2} + \frac{1}{(x-y)^2};$

д) $\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1};$

е) $\frac{x-y}{x^2+xy+y^2} - \frac{3xy}{x^3-y^3} + \frac{1}{x-y}.$

а) $\frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3} - \frac{4y-18}{y^2-9}$

Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель третьей дроби $y^2-9$ является разностью квадратов: $y^2-9 = (y-3)(y+3)$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $(y-3)(y+3)$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

$\frac{5}{y-3} = \frac{5(y+3)}{(y-3)(y+3)}$

$\frac{1}{y+3} = \frac{1(y-3)}{(y-3)(y+3)}$

Теперь выполним сложение и вычитание дробей:

$\frac{5(y+3)}{(y-3)(y+3)} + \frac{y-3}{(y-3)(y+3)} - \frac{4y-18}{(y-3)(y+3)} = \frac{5(y+3) + (y-3) - (4y-18)}{(y-3)(y+3)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{5y + 15 + y - 3 - 4y + 18}{(y-3)(y+3)} = \frac{(5y+y-4y) + (15-3+18)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2y+30}{y^2-9}$

Числитель можно разложить на множители: $2y+30 = 2(y+15)$.

$\frac{2(y+15)}{y^2-9}$. Сократить дробь нельзя.

Ответ: $\frac{2y+30}{y^2-9}$.

б) $\frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} - \frac{4a^2+9}{4a^2-9}$

Разложим знаменатели на множители. Заметим, что $3-2a = -(2a-3)$ и $4a^2-9 = (2a-3)(2a+3)$.

Преобразуем выражение, изменив знак у второй дроби:

$\frac{2a}{2a+3} - \frac{5}{2a-3} - \frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)}$

Общий знаменатель: $(2a-3)(2a+3)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a(2a-3)}{(2a+3)(2a-3)} - \frac{5(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)} - \frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)}$

Объединим дроби:

$\frac{2a(2a-3) - 5(2a+3) - (4a^2+9)}{(2a-3)(2a+3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{4a^2 - 6a - 10a - 15 - 4a^2 - 9}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{(4a^2-4a^2) + (-6a-10a) + (-15-9)}{4a^2-9} = \frac{-16a-24}{4a^2-9}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{-8(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)}$

Сократим дробь на $(2a+3)$:

$\frac{-8}{2a-3} = \frac{8}{-(2a-3)} = \frac{8}{3-2a}$

Ответ: $\frac{8}{3-2a}$.

в) $\frac{4m}{4m^2-1} - \frac{2m+1}{6m-3} + \frac{2m-1}{4m+2}$

Разложим знаменатели на множители:

$4m^2-1 = (2m-1)(2m+1)$

$6m-3 = 3(2m-1)$

$4m+2 = 2(2m+1)$

Общий знаменатель: $3 \cdot 2 \cdot (2m-1)(2m+1) = 6(2m-1)(2m+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4m \cdot 6}{6(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m+1) \cdot 2(2m+1)}{6(2m-1)(2m+1)} + \frac{(2m-1) \cdot 3(2m-1)}{6(2m-1)(2m+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{24m - 2(2m+1)^2 + 3(2m-1)^2}{6(4m^2-1)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{24m - 2(4m^2+4m+1) + 3(4m^2-4m+1)}{6(4m^2-1)} = \frac{24m - 8m^2 - 8m - 2 + 12m^2 - 12m + 3}{6(4m^2-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(-8m^2+12m^2) + (24m-8m-12m) + (-2+3)}{6(4m^2-1)} = \frac{4m^2+4m+1}{6(4m^2-1)}$

Числитель является полным квадратом: $4m^2+4m+1 = (2m+1)^2$.

$\frac{(2m+1)^2}{6(2m-1)(2m+1)}$

Сократим дробь на $(2m+1)$:

$\frac{2m+1}{6(2m-1)}$

Ответ: $\frac{2m+1}{6(2m-1)}$.

г) $\frac{1}{(x+y)^2} - \frac{2}{x^2-y^2} + \frac{1}{(x-y)^2}$

Разложим средний знаменатель на множители: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Общий знаменатель: $(x-y)^2(x+y)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{2 \cdot (x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)} + \frac{1 \cdot (x+y)^2}{(x-y)^2(x+y)^2}$

$\frac{(x-y)^2 - 2(x-y)(x+y) + (x+y)^2}{(x-y)^2(x+y)^2}$

Числитель представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=(x-y)$ и $b=(x+y)$.

Свернем числитель по этой формуле:

$\frac{((x-y)-(x+y))^2}{((x-y)(x+y))^2} = \frac{(x-y-x-y)^2}{(x^2-y^2)^2} = \frac{(-2y)^2}{(x^2-y^2)^2} = \frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2}$

Ответ: $\frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2}$.

д) $\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов: $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Общий знаменатель: $(a-1)(a^2+a+1) = a^3-1$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1} - \frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(4a^2+3a+2) - (1-2a)(a-1)}{a^3-1}$

Раскроем скобки в числителе:

$(1-2a)(a-1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2+3a-1$.

$\frac{4a^2+3a+2 - (-2a^2+3a-1)}{a^3-1} = \frac{4a^2+3a+2+2a^2-3a+1}{a^3-1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4a^2+2a^2) + (3a-3a) + (2+1)}{a^3-1} = \frac{6a^2+3}{a^3-1}$

Ответ: $\frac{6a^2+3}{a^3-1}$.

е) $\frac{x-y}{x^2+xy+y^2} - \frac{3xy}{x^3-y^3} + \frac{1}{x-y}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Общий знаменатель: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} - \frac{3xy}{x^3-y^3} + \frac{1(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$

$\frac{(x-y)^2 - 3xy + (x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2-2xy+y^2 - 3xy + x^2+xy+y^2}{x^3-y^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(x^2+x^2) + (-2xy-3xy+xy) + (y^2+y^2)}{x^3-y^3} = \frac{2x^2-4xy+2y^2}{x^3-y^3}$

Вынесем общий множитель в числителе и свернем его по формуле квадрата разности:

$\frac{2(x^2-2xy+y^2)}{x^3-y^3} = \frac{2(x-y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}$

Сократим дробь на $(x-y)$:

$\frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2}$

Ответ: $\frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2}$.