Номер 226, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 226, страница 55.

226. Выполните сложение или вычитание дробей:

а) $\frac{3b^2 - 5b - 1}{b^2y} + \frac{5b - 3}{by};$

б) $\frac{a^2 - a + 1}{a^3x} - \frac{x^2 - 1}{ax^3};$

В) $\frac{1 + c}{c^2y^4} - \frac{c^3 + y^4}{c^2y^8};$

Г) $\frac{c^2 + x^2}{c^2x^5} - \frac{c + x}{c^3x^3}.$

а) $\frac{3b^2-5b-1}{b^2y} + \frac{5b-3}{by}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $b^2y$ и $by$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — $b^2y$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Для второй дроби $\frac{5b-3}{by}$ дополнительным множителем является $b$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $b$:

$\frac{5b-3}{by} = \frac{(5b-3) \cdot b}{by \cdot b} = \frac{5b^2-3b}{b^2y}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3b^2-5b-1}{b^2y} + \frac{5b^2-3b}{b^2y} = \frac{(3b^2-5b-1) + (5b^2-3b)}{b^2y}$

Сложим многочлены в числителе, приводя подобные слагаемые:

$(3b^2+5b^2) + (-5b-3b) - 1 = 8b^2 - 8b - 1$

Таким образом, результат:

$\frac{8b^2 - 8b - 1}{b^2y}$

Ответ: $\frac{8b^2 - 8b - 1}{b^2y}$

б) $\frac{a^2-a+1}{a^3x} - \frac{x^2-1}{ax^3}$

Найдем наименьший общий знаменатель для $a^3x$ и $ax^3$. НОЗ равен $a^3x^3$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x^2$. Дополнительный множитель для второй дроби — $a^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a^2-a+1) \cdot x^2}{a^3x \cdot x^2} - \frac{(x^2-1) \cdot a^2}{ax^3 \cdot a^2} = \frac{a^2x^2-ax^2+x^2}{a^3x^3} - \frac{a^2x^2-a^2}{a^3x^3}$

Выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем:

$\frac{(a^2x^2-ax^2+x^2) - (a^2x^2-a^2)}{a^3x^3}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$a^2x^2-ax^2+x^2 - a^2x^2+a^2 = (a^2x^2-a^2x^2) - ax^2 + x^2 + a^2 = -ax^2+x^2+a^2$

Запишем результат, поменяв слагаемые местами для удобства:

$\frac{a^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3}$

Ответ: $\frac{a^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3}$

в) $\frac{1+c}{c^2y^4} - \frac{c^3+y^4}{c^2y^8}$

Наименьший общий знаменатель для $c^2y^4$ и $c^2y^8$ это $c^2y^8$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $y^4$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

$\frac{(1+c) \cdot y^4}{c^2y^4 \cdot y^4} - \frac{c^3+y^4}{c^2y^8} = \frac{y^4+cy^4}{c^2y^8} - \frac{c^3+y^4}{c^2y^8}$

Выполним вычитание:

$\frac{(y^4+cy^4) - (c^3+y^4)}{c^2y^8} = \frac{y^4+cy^4 - c^3 - y^4}{c^2y^8}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(y^4-y^4) + cy^4 - c^3 = cy^4 - c^3$

Получаем дробь $\frac{cy^4 - c^3}{c^2y^8}$. Вынесем общий множитель $c$ в числителе:

$\frac{c(y^4 - c^2)}{c^2y^8}$

Сократим дробь на $c$:

$\frac{y^4 - c^2}{cy^8}$

Ответ: $\frac{y^4 - c^2}{cy^8}$

г) $\frac{c^2+x^2}{c^2x^5} - \frac{c+x}{c^3x^3}$

Наименьший общий знаменатель для $c^2x^5$ и $c^3x^3$ это $c^3x^5$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $c$. Дополнительный множитель для второй дроби — $x^2$.

$\frac{(c^2+x^2) \cdot c}{c^2x^5 \cdot c} - \frac{(c+x) \cdot x^2}{c^3x^3 \cdot x^2} = \frac{c^3+cx^2}{c^3x^5} - \frac{cx^2+x^3}{c^3x^5}$

Выполним вычитание:

$\frac{(c^3+cx^2) - (cx^2+x^3)}{c^3x^5} = \frac{c^3+cx^2 - cx^2 - x^3}{c^3x^5}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$c^3 + (cx^2 - cx^2) - x^3 = c^3 - x^3$

В результате получаем дробь:

$\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}$

Ответ: $\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}$