Номер 222, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 222, страница 54.

222. Докажите, что если правильная обыкновенная дробь $ \frac{a}{b} $ несо- кратима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несо- кратима.

Пусть дана правильная несократимая обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$. Согласно условию задачи, это означает, что:

1. $a$ и $b$ — натуральные числа.
2. Дробь правильная, следовательно, числитель меньше знаменателя: $a < b$.
3. Дробь несократима, это значит, что наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя равен 1: $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Теперь найдем дробь, которая дополняет исходную дробь $\frac{a}{b}$ до единицы. Для этого необходимо вычесть $\frac{a}{b}$ из 1: $1 - \frac{a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$

Нам требуется доказать, что полученная дробь $\frac{b-a}{b}$ также является несократимой. Дробь считается несократимой, если наибольший общий делитель её числителя и знаменателя равен 1. Таким образом, нам нужно доказать, что $\text{НОД}(b-a, b) = 1$.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что дробь $\frac{b-a}{b}$ является сократимой. Это означает, что её числитель $b-a$ и знаменатель $b$ имеют общий делитель $d$, который больше 1, то есть $d > 1$.

Если $d$ — общий делитель чисел $b$ и $b-a$, то оба эти числа делятся на $d$ без остатка. Известно, что если два числа делятся на некоторое число, то и их разность также делится на это число. Найдем разность наших чисел: $b - (b-a) = b - b + a = a$

Следовательно, число $a$ также делится на $d$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что число $d$ является общим делителем для чисел $a$ и $b$. Но мы предположили, что $d > 1$. Это означает, что наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ должен быть не меньше $d$, то есть $\text{НОД}(a, b) \ge d > 1$.

Это утверждение противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что дробь $\frac{a}{b}$ несократима, а значит, $\text{НОД}(a, b) = 1$.

Поскольку наше предположение о том, что дробь $\frac{b-a}{b}$ сократима, привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, дробь $\frac{b-a}{b}$ несократима.

Ответ: Что и требовалось доказать. Если правильная обыкновенная дробь несократима, то и дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.