Номер 218, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 218, страница 54.

218. Известно, что $a - b = 9$. Найдите значение дроби:

а) $\frac{36}{(a - b)^2}$;

б) $\frac{108}{(b - a)^2}$;

в) $\frac{(5a - 5b)^2}{45}$;

г) $\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}$.

а)

По условию задачи дано, что $a - b = 9$. Чтобы найти значение дроби $\frac{36}{(a-b)^2}$, подставим известное значение $a - b$ в знаменатель:

$\frac{36}{(a-b)^2} = \frac{36}{9^2} = \frac{36}{81}$

Теперь сократим полученную дробь. И числитель 36, и знаменатель 81 делятся на 9:

$\frac{36 \div 9}{81 \div 9} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

б)

Дано выражение $\frac{108}{(b-a)^2}$. Нам известно, что $a - b = 9$.

Выразим $b-a$ через $a-b$: $b - a = -(a - b) = -9$.

Возведем $b - a$ в квадрат: $(b - a)^2 = (-9)^2 = 81$.

Стоит отметить, что $(b - a)^2 = (a - b)^2$, так как квадраты противоположных чисел равны.

Подставим полученное значение в знаменатель дроби:

$\frac{108}{81}$

Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 108 и 81 равен 27:

$\frac{108 \div 27}{81 \div 27} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

в)

Необходимо найти значение выражения $\frac{(5a-5b)^2}{45}$.

Сначала преобразуем выражение в числителе. Вынесем общий множитель 5 за скобки в выражении $(5a - 5b)$:

$5a - 5b = 5(a - b)$

Теперь возведем в квадрат: $(5(a - b))^2 = 5^2 \cdot (a - b)^2 = 25(a - b)^2$.

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{25(a-b)^2}{45}$

Используем условие $a - b = 9$:

$\frac{25 \cdot 9^2}{45} = \frac{25 \cdot 81}{45}$

Для упрощения вычислений сократим дробь. Сократим 81 и 45 на 9:

$\frac{25 \cdot 9}{5}$

Далее сократим 25 и 5 на 5:

$5 \cdot 9 = 45$

Ответ: 45

г)

Рассмотрим выражение $\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}$.

Знаменатель $a^3 - b^3$ является разностью кубов, которую можно разложить на множители по формуле: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставим это разложение в нашу дробь:

$\frac{a^2+ab+b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2 + ab + b^2)$, который не равен нулю при заданном условии.

После сокращения мы получаем выражение:

$\frac{1}{a-b}$

Подставляем известное значение $a - b = 9$:

$\frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$