Номер 223, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 223, страница 55.

223. При каких натуральных n является натуральным числом значение выражения:

а) $ \frac{n+6}{n} $;

б) $ \frac{5n-12}{n} $;

в) $ \frac{36-n^2}{n^2} $?

а) Чтобы значение выражения $\frac{n+6}{n}$ было натуральным числом при натуральном $n$, представим его в виде суммы:
$\frac{n+6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{6}{n}$
Для того чтобы эта сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{6}{n}$ было натуральным числом (так как 1 уже натуральное). Это возможно только в том случае, если знаменатель $n$ является натуральным делителем числителя 6.
Натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
Проверим эти значения:
- при $n=1$, значение выражения равно $1 + \frac{6}{1} = 7$ (натуральное число).
- при $n=2$, значение выражения равно $1 + \frac{6}{2} = 1 + 3 = 4$ (натуральное число).
- при $n=3$, значение выражения равно $1 + \frac{6}{3} = 1 + 2 = 3$ (натуральное число).
- при $n=6$, значение выражения равно $1 + \frac{6}{6} = 1 + 1 = 2$ (натуральное число).
Таким образом, подходят четыре значения $n$.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

б) Чтобы значение выражения $\frac{5n-12}{n}$ было натуральным числом при натуральном $n$, представим его в виде разности:
$\frac{5n-12}{n} = \frac{5n}{n} - \frac{12}{n} = 5 - \frac{12}{n}$
Для того чтобы эта разность была натуральным числом, должны выполняться два условия:
1. Дробь $\frac{12}{n}$ должна быть целым числом, чтобы результат вычитания из 5 был целым. Это значит, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 12. Натуральные делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
2. Результат должен быть натуральным числом, то есть больше нуля: $5 - \frac{12}{n} > 0$. Это неравенство равносильно $5 > \frac{12}{n}$, или $5n > 12$, откуда $n > \frac{12}{5}$, то есть $n > 2.4$.
Теперь выберем из множества делителей {1, 2, 3, 4, 6, 12} те, которые удовлетворяют условию $n > 2.4$. Это числа: 3, 4, 6, 12.
Проверим эти значения:
- при $n=3$, значение выражения равно $5 - \frac{12}{3} = 5 - 4 = 1$ (натуральное число).
- при $n=4$, значение выражения равно $5 - \frac{12}{4} = 5 - 3 = 2$ (натуральное число).
- при $n=6$, значение выражения равно $5 - \frac{12}{6} = 5 - 2 = 3$ (натуральное число).
- при $n=12$, значение выражения равно $5 - \frac{12}{12} = 5 - 1 = 4$ (натуральное число).

Ответ: 3, 4, 6, 12.

в) Чтобы значение выражения $\frac{36-n^2}{n^2}$ было натуральным числом при натуральном $n$, представим его в виде разности:
$\frac{36-n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - 1$
Для того чтобы эта разность была натуральным числом, должны выполняться два условия:
1. Дробь $\frac{36}{n^2}$ должна быть целым числом. Это значит, что $n^2$ должно быть делителем числа 36.
2. Результат должен быть натуральным числом, то есть больше нуля: $\frac{36}{n^2} - 1 > 0$. Это неравенство равносильно $\frac{36}{n^2} > 1$, или $36 > n^2$.
Найдем натуральные $n$, для которых $n^2$ является делителем 36. Делителями 36, являющимися полными квадратами, являются 1 ($1^2$), 4 ($2^2$), 9 ($3^2$), 36 ($6^2$).
Следовательно, возможные значения для $n$: 1, 2, 3, 6.
Теперь проверим эти значения по второму условию $n^2 < 36$:
- для $n=1$, $1^2 = 1 < 36$. Подходит. Значение: $\frac{36}{1}-1 = 35$.
- для $n=2$, $2^2 = 4 < 36$. Подходит. Значение: $\frac{36}{4}-1 = 9-1 = 8$.
- для $n=3$, $3^2 = 9 < 36$. Подходит. Значение: $\frac{36}{9}-1 = 4-1 = 3$.
- для $n=6$, $6^2 = 36$. Условие $36 < 36$ неверно. Не подходит.
Таким образом, подходят три значения $n$.

Ответ: 1, 2, 3.