Номер 221, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе 1. Глава 1. Рациональные дроби - номер 221, страница 54.

221. Докажите, что тождественно равно многочлену выражение:

а) $\frac{(y-b)^2}{y-b+1} + \frac{y-b}{y-b+1}$;

б) $\frac{(a+x)^2}{a+x-2} - \frac{2a+2x}{a+x-2}$;

в) $\frac{x^2-y^2}{x-y-1} + \frac{x+y}{y-x+1}$;

г) $\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} + \frac{2(b-3c)}{2-b+3c}$.

а)

Чтобы доказать, что выражение является многочленом, мы упростим его. Исходное выражение: $ \frac{(y-b)^2}{y-b+1} + \frac{y-b}{y-b+1} $.
Так как дроби имеют общий знаменатель $y-b+1$, мы можем сложить их числители:
$ \frac{(y-b)^2 + (y-b)}{y-b+1} $.
В числителе вынесем общий множитель $(y-b)$ за скобки:
$ \frac{(y-b)((y-b)+1)}{y-b+1} = \frac{(y-b)(y-b+1)}{y-b+1} $.
Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(y-b+1)$ (при условии, что $y-b+1 \neq 0$). В результате получаем выражение $y-b$, которое является многочленом.

Ответ: $y-b$.

б)

Упростим выражение $ \frac{(a+x)^2}{a+x-2} - \frac{2a+2x}{a+x-2} $.
Поскольку знаменатели у дробей одинаковые, выполним вычитание числителей:
$ \frac{(a+x)^2 - (2a+2x)}{a+x-2} $.
В выражении $2a+2x$ вынесем общий множитель 2: $2(a+x)$. Тогда числитель примет вид $(a+x)^2 - 2(a+x)$.
Вынесем общий множитель $(a+x)$ в числителе:
$ \frac{(a+x)((a+x)-2)}{a+x-2} = \frac{(a+x)(a+x-2)}{a+x-2} $.
Сократим дробь на $(a+x-2)$ (при $a+x-2 \neq 0$). В результате получаем многочлен $a+x$.

Ответ: $a+x$.

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{x^2-y^2}{x-y-1} + \frac{x+y}{y-x+1} $.
Преобразуем знаменатель второй дроби: $y-x+1 = -(x-y-1)$. Это позволяет нам изменить знак перед второй дробью и сделать знаменатели одинаковыми:
$ \frac{x^2-y^2}{x-y-1} - \frac{x+y}{x-y-1} $.
Теперь вычтем числители:
$ \frac{x^2-y^2 - (x+y)}{x-y-1} $.
Разложим $x^2-y^2$ по формуле разности квадратов как $(x-y)(x+y)$:
$ \frac{(x-y)(x+y) - (x+y)}{x-y-1} $.
Вынесем в числителе общий множитель $(x+y)$:
$ \frac{(x+y)((x-y)-1)}{x-y-1} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1} $.
После сокращения на $(x-y-1)$ (при $x-y-1 \neq 0$), мы получаем многочлен $x+y$.

Ответ: $x+y$.

г)

Упростим выражение $ \frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} + \frac{2(b-3c)}{2-b-3c} $.
Знаменатель второй дроби $2-b-3c$ можно представить как $-(b+3c-2)$. Вынесем знак минус перед дробью:
$ \frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} - \frac{2(b-3c)}{b+3c-2} $.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, объединим числители:
$ \frac{b^2-9c^2 - 2(b-3c)}{b+3c-2} $.
Применим формулу разности квадратов к $b^2-9c^2 = (b-3c)(b+3c)$:
$ \frac{(b-3c)(b+3c) - 2(b-3c)}{b+3c-2} $.
Вынесем общий множитель $(b-3c)$ в числителе:
$ \frac{(b-3c)((b+3c)-2)}{b+3c-2} = \frac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2} $.
Сократив дробь на $(b+3c-2)$ (при $b+3c-2 \neq 0$), получим многочлен $b-3c$.

Ответ: $b-3c$.